Регрессия с обратной независимой переменной

Предположим, у меня есть вектор зависимых переменных и вектор независимой переменной. Когда отображается на графике , я вижу, что между ними существует линейная зависимость (восходящая тенденция). Теперь это также означает, что между и существует линейная тенденция к снижению .$N$$Y$$N$$X$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Теперь, если я запускаю регрессию: и получаю подходящее значение$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Затем я запускаю регрессию: и получаю подходящее значение $Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Будут ли приблизительно два одинаковых прогнозируемых значения и ?$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Когда Y отображается на графике , я вижу, что между ними существует линейная зависимость (восходящая тенденция). Теперь это также означает, что между Y и X существует линейная тенденция к снижению$\frac{1}{X}$

Последнее предложение неверно: есть нисходящий тренд, но он ни в коем случае не линейный:

Я использовал , как функции плюс немного шума на . Как вы можете видеть, в то время как построение против приводит к линейному поведению, против далеко от линейного.$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber указывает, что график против не выглядит гомоскедастичным. Я думаю, что он имеет более высокую дисперсию для низкого потому что гораздо более высокая плотность регистра приводит к большему диапазону, который по сути то, что мы воспринимаю. На самом деле, данные гомоскедастичны: я использовал для генерации данных, поэтому нет зависимости от размера )$Y$$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Так что в целом отношения очень нелинейные. То есть, если ваш диапазон не настолько узок, что вы можете приблизитьВот пример:$X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Нижняя граница:

• В общем, очень трудно аппроксимировать функцию типа линейной или полиномиальной функцией. А без смещения вы никогда не получите разумного приближения.$\frac{1}{X}$
• Если интервал достаточно узок, чтобы позволить линейное приближение, вы все равно не сможете по данным догадаться, что отношение должно быть а не линейным ( ).$X$$\frac{1}{X}$$X$

Я не вижу причин для того, чтобы они были «примерно равными» в целом - но что именно вы подразумеваете под «примерно равными»?

Вот игрушечный пример:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

Изображение:

«Синяя» модель была бы намного лучше, если бы ей позволили иметь перехватывающий (то есть постоянный) термин ...