Независимы ли оценки перехвата и наклона в простой линейной регрессии?

Рассмотрим линейную модель

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

и оценки наклона и точки пересечения и с использованием обычных наименьших квадратов. Эта ссылка на математическую статистику делает утверждение, что и независимы (в доказательстве своей теоремы). ; & beta$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$ ; & beta$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Я не уверен, что понимаю почему. поскольку

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Разве это не значит, что и взаимосвязаны? Я, наверное, упускаю что-то действительно очевидное здесь. ; & beta$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Перейдите на тот же сайт на следующей подстранице:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Вы увидите более четко, что они задают простую модель линейной регрессии с регрессором, центрированным по среднему значению выборки . И это объясняет, почему они впоследствии говорят, что и независимы. $\hat \alpha$$\hat \beta$

Для случая, когда коэффициенты оцениваются регрессором, который не центрирован, их ковариация равна

Итак, вы видите, что если мы используем регрессор с центром в , назовем его , то в приведенном выше ковариационном выражении будет использоваться среднее значение выборки для центрированного регрессора, , которое будет равно нулю, и так оно также будет равно нулю, а коэффициенты оценки будут независимыми.$\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Этот пост , содержит больше на простой линейной регрессии алгебры OLS.