Линейные системы уравнений распространены в вычислительной статистике. Одна особая система, с которой я столкнулся (например, в факторном анализе), это система
где Здесь D - диагональная матрица n × n со строго положительной диагональю, Ω - симметричная положительная полуопределенная матрица m × m (с m ≪ n ), а B - произвольная n × м матрица. Нас просят решить диагональную линейную систему (легкую), которая возмущена матрицей низкого ранга. Наивный способ решить эту проблему выше, чтобы инвертировать A , используя формулу Woodbury в
, Однако это не совсем правильно, поскольку факторизации Холецкого и QR обычно могут значительно ускорить решение линейных систем (и нормальных уравнений). Недавно я подошел к следующей статье , в которой, похоже, используется подход Холецкого, и упоминается численная нестабильность инверсии Вудбери. Тем не менее, документ представляется в виде черновика, и я не смог найти численных экспериментов или подтверждающих исследований. Каков уровень техники для решения описанной мной проблемы?
Ответы:
«Матричные вычисления» Голуба и ван Лоан подробно обсуждаются в главе 12.5.1 об обновлении факторизаций QR и Холецкого после обновлений ранга p.
источник