Условия предварительного кодирования матрицы для сохранения комплексной сопряженной симметрии на векторе DFT

Предположим, что существует вектор DFT с длиной N, который представляет комплексную сопряженную симметрию вокруг своей средней точки, т. Е. , и пр. и являются частотой постоянного тока и частотой Найквиста соответственно, поэтому являются действительными числами. Остальные элементы сложны. X ( 1 ) = X ( N - 1 ) ∗ X ( 2 ) = X ( N - 2 ) ∗ X ( 0 ) X ( N / 2 $\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Теперь предположим, что существует матрица размером , которая умножает вектор X. N × $\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Вопрос в том:

В каких условиях для матрицы сохраняется комплексная сопряженная симметрия вокруг средней точки результирующего вектора ?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Мотивация для этого вопроса состоит в том, чтобы попытаться придумать матрицу предварительного кодирования $\mathbf{T}$ которая приводит к предварительно кодированному (предварительно выровненному) символу $\mathbf{Y}$ чье IFFT является действительным.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Спасибо @MattL. и @niaren. Трудность в этом вопросе состоит в том, чтобы найти необходимые условия. Ответ Мэтта действительно достаточно. Также достаточно внести следующие изменения:

Первая строка и первый столбец не должны быть нулевыми. Вместо этого они могут быть ненулевыми, если его значения представляют комплексную сопряженную симметрию вокруг средней точки, его первое значение является действительным, а его -ое значение является действительным, точно так же, как символ. То же самое можно сказать для -го столбца, -го ряда и главной диагонали.( N / 2 + 1 ) ( N / 2 + 1 $(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

Во-вторых, такое же соответствие между матрицей в верхнем левом углу и нижнем правом углу может быть сделано между верхним правым углом и нижним левым углом, то есть выбрано матрица, начиная с до , переворачивается слева направо, переворачивается вверх дном и берет конъюгат, затем помещается в нижний левый угол. На MATLAB это будет:т 2 , Н / 2 + 2 т Н / 2 , $(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Эта структура похожа на структуру матрицы DFT. Это было бы необходимым условием?

EDIT (2):

Следующий код реализует такой допустимый оператор для любой вещественной матрицы :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Также интересно отметить, что представляет достаточное условие. Это связано с тем, что:$\mathbf{T}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ где - матрица DFT.$\mathbf{W}$

Так как . Это уравнение становится:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

Наконец, поскольку является вещественным значением, при условии, что имеет полный ранг, достаточно . A T - $\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

Я думаю, что записи в вашей матрице должны подчиняться . Это говорит о том, что записи в строке такие же, как коэффициенты в строке n, но где коэффициенты сопряжены и обращены. Шаблон в , для являетсяa N - n + 1 , N - m + 1 = a ∗ n , $\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Я уверен, что кто-то придумает лучший и более точный ответ.

Если я не ошибаюсь, единственное решение для которое не зависит от вектора - это диагональная (комплексная) матрица, где диагональ удовлетворяет комплексной сопряженной симметрии.$\mathbf{T}$$\mathbf{X}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: ОК, я ошибся. Диагональ это хорошо, но это не обязательно. Матрица должна иметь следующую общую структуру: элементы и должны быть действительными (они соответствуют DC и Найквисту). Помимо первая строка и столбец содержат только нули. Для элементов от до выбрал произвольныйт 11 т Н / 2 + 1 , Н / 2 + 1 т 11 т 22 т Н / 2 , Н / 2 ( Н / 2 - 1 ) × ( Н / 2 - 1 ) Т $\mathbf{T}$$t_{11}$$t_{N/2+1,N/2+1}$$t_{11}$$t_{22}$$t_{N/2,N/2}$$(N/2-1)\times (N/2-1)$матрица. Затем используйте эту произвольную матрицу для формирования новой матрицы, меняя местами все строки (первая строка становится последней, вторая строка становится второй последней и т. Д.), Переворачивая строки слева направо и путем сопряжения. Затем поместите эту подматрицу в нижний правый угол общей матрицы . Все остальные элементы должны быть равны нулю. Я знаю, что это сложно понять без визуализации, поэтому я добавлю его позже, когда у меня будет больше времени.$\mathbf{T}$$\mathbf{T}$