Как «отбелить» сигнал во временной области?

Я пытаюсь понять, как именно реализовать так называемый «предварительный отбеливающий» фильтр или просто «отбеливающий» фильтр.

Я понимаю, что цель состоит в том, чтобы сделать его дельтой в качестве функции автокорреляции, но я не уверен, как именно это сделать.

Контекст здесь следующий: сигнал принимается на двух разных приемниках, и вычисляется их взаимная корреляция. Кросс-корреляция может выглядеть как треугольник или какая-то другая богом забытая форма. Из-за этого становится трудно находить пик сигнала взаимной корреляции. В этом случае я слышу о необходимости «отбелить» сигналы перед выполнением кросс-корреляции, чтобы кросс-корреляция стала более дельта-подобной.

Как это сделать?

Благодарность!

Предположим, у вас есть сигналы и y ( t ), для которых функция взаимной корреляции R x , y ( t ) вам не нравится; Вы хотите, чтобы R x , y были импульсными. Отметим, что в частотной области F [ R x , y ] = S x , y ( f ) = X ( f ) Y ∗ ( f ) $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ Таким образом , вы фильтрации сигналов через линейные фильтры и ч , соответственно , чтобы получить х ( т ) = х * г , Х ( п ) = Х ( е ) С ( е ) , и у = у * ч , Y ( f ) = Y ( f ) H ( f ) , и теперь их функция взаимной корреляции $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$$\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$ которого преобразование Фурье F [ R х , у ] = S х , у ( е $R_{\hat{x},\hat{y}}$ то есть, R х , у является кросс-корреляцииRх,ус Rч,г. Что еще более важно, вы хотите выбратьgиhтак, чтобыкросс-спектральная плотностьG(f $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ $R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ для g и h - мультипликативная обратная кросс-спектральная плотность X ( f ) Y ∗ ( f ) для x и y или что-то близкое к ней. Если у вас есть только один сигнал и один фильтр, то вы получите результат, данный Хильмаром (с поправкой, указанной в моем комментарии). В любом случае проблема компенсации спектральных нулей или вообще полос частот, где сигналы имеют небольшую энергию, все еще остается.$G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$

Предварительное отбеливание может быть выполнено путем фильтрации с помощью передаточной функции, которая приблизительно обратна спектру мощности сигнала. Допустим, у вас есть аудиосигнал, который примерно розовый. Для того, чтобы отбелить это, вы должны применить обратный розовый фильтр (частотная характеристика возрастает на 3 дБ на октаву).

Однако я не уверен, поможет ли это в вашей проблеме. Предварительное отбеливание имеет тенденцию усиливать низкоэнергетические части сигнала, которые могут быть шумными и, следовательно, увеличивать общий шум в вашей системе. Если вы пытаетесь определить, являются ли два сигнала выровненными по времени (или что такое временное выравнивание), то в проблеме есть некоторая нечеткость, связанная с пропускной способностью сигнала. Это точно представлено во временной области функции автокорреляции. 

$\bf x$$\bf x$$\bf x$

$\bf x$$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$$N$$i,j$$\bf x$

Когда у вас есть эта ковариационная матрица, вы можете вычислить отбеливающее преобразование в форме матрицы, чтобы умножить данные, чтобы получить беленную версию. Ковариация этих новых отбеленных данных является единичной матрицей.

${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$

$C^{-1/2}$$C=LL^T$${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$$L$

Если речь идет только о том, как фильтровать части сигнала с низким энергопотреблением, не могли бы вы использовать фильтр нижних частот? Есть несколько реализаций по этому поводу.

Если это его полезно: эта статья из Karjalaien et. Все о отбеливающем фильтре и методе искаженного линейного предсказания, который используется фильтром.