Почему автокорреляция достигает своего пика в нуле?

Я знаю, что смещение нуля в автокорреляционной функции равно ее энергии, но я хотел бы понять, почему пик равен нулю.

Вы ищете формальное доказательство или интуицию за этим? В последнем случае: «Ничто не может быть более похоже на функцию, чем она сама». Автокорреляция при lag измеряет сходство между функцией и той же функцией, сдвинутой на . Обратите внимание, что если периодический, то смещается на любое целое число, кратное и совпадают, поэтому автокорреляция имеет форму гребня - с пиками на целых кратных периода с той же высотой, что и центральный пик.$\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

Автокорреляционная функция апериодического сигнала с конечной энергией в дискретном времени задается как

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ для реальных сигналов и сложных сигналов соответственно. Для простоты изложения ограничимся реальными сигналами. Рассмотрим слагаемое $x[m]x[m-n]$ . Для фиксированной задержки $n$ и заданного $m$ , $x[m]x[m-n]$ обычно будет иметь положительное или отрицательное значение. Если так происходит, что для определенной задержки $n$ , $x[m]x[m-n]$ неотрицательна для всех$m$ , тогда все слагаемые в сумме будут суммироваться (без отмены), и поэтому$R_x[n]$ гарантированно будет иметь положительное значение. Фактически, сумма будет наибольшей, если все пики в$x[m-n]$ совпадают с пиками в$x[m]$ а долины в$x[m-n]$ совпадают с долинами в$x[m]$ . Например, если$x$ является функцией sinc с избыточной выборкой, скажем, $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ с пиками при$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$и долинами при $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, затем$R_x[n]$будет иметь максимумыпри$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (и, к тому же, будут иметьминимумыпри$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ когда пики совпадают с долинами). Глобальныймаксимум$R_x[n]$ , очевиднопри задержке $n = 0$ , когда самый высокий пик в$x[m]$ и$x[m-n]$ совпадают. На самом деле, этот вывод относится не только к этому сигналу, но клюбомусигнал. При лаге $n = 0$ имеем $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ и мы гарантируем, что не только все пики и впадины выровнены друг с другом (независимо от того, где они встречаются в $x[m]$ ), но также и то, что самые высокие пики и самые глубокие долины выстроены в линию соответствующим образом.

Более формально, для педантов типа @JohnSmith, которые требуют формальных доказательств, неравенство Коши говорит, что для комплексных последовательностей $u$ и $v$ ,

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ Ограничение себя реальными последовательностями только для простоты изложения, более подробная версия говорит, что $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ гдеравенствовыполняется в верхней (нижней) границе, если существует положительное (отрицательное) число$\lambda$такое, что$u = \lambda v$, (то есть$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$где$\lambda > 0$($\lambda < 0$)). Признавая, что суммы внутри квадратных корней являются энергиями $\mathcal E_u$ и $\mathcal E_v$ последовательностей, мы можем написать, что $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ Установка$u[m] = x[m]$и$v[m] = x[m-n]$где$n$- некоторое целое число, мы имеем это $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ и признавая, что теперь$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, мы получаем, что $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ с равенством удерживая в одной из границ, если$x[m] = \lambda x[m-n]$для всех $m$ . И, наконец, отметить , что $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ , и что , когда $n=0$ , то последовательность $u[m] = x[m]$ является идентичной с последовательностью $v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (то есть$\lambda = 1$ - это положительное действительное число, такое что$u[m] = \lambda v[m]$ для всех$m$ ), имеем, что $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ показывающий, что$R_x[n]$ имеет пиковое значение при$n=0$все остальные значения автокорреляции меньше этого пика.

---

Когда $x[m]$ является периодическим сигналом конечной мощности, приведенные выше суммы для $R_x[n]$ расходятся. В таких случаях, как используются периодическая функция автокорреляции

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ , где $N$ является периодом $x[m]$ , то есть,$x[m] = x[m-N]$ для всех целых чисел$m$ . Обратите внимание, что$R_x[n]$ является периодической функцией от $n$ . Теперь, пока верно, что$R_x[0] \geq |R_x[n]|$для$1 < n < N$ максимальное значение$R_x[0]$ также периодически повторяется:$R_x[kN] = R_x[0]$ для всех целых чисел$k$ . Отметим также, что возможно, что$R_x[n] = -R_x[0]$ для некоторого$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$ , обычно при$n = N/2$ если$N$ четное, и поэтому мы могут иметь долины, столь же глубокие, как самые высокие пики впериодическомавтокорреляционная функция. Простейшим примером такой последовательности является случай, когда $N=2$ и один период последовательности равен $[1 ~ -1]$ , периодическая автокорреляция которого представляет собой просто периодическую последовательность $[2 ~ -2]$ , то есть чередование пиков и впадин с автокорреляцией $R_x[n]$ имеет пиковое значение $2$ когда $n$ - четное целое число (не забывайте, что $0$ - четное целое число!) и имеющее «антипиковое» значение $-2$ при нечетных значениях $n$, В более общем смысле, мы имеем это явление всякий раз, когда $N$ четное и один период $\vec{x}$ может быть разложен на $[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$ .

с помощью

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

можно легко показать, что

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

первый член - просто а второй член - неотрицательное число, вычитаемое из первого. это означает, что R x [ m ] не может превышать R x [ 0 ] для любого m .$R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$