Какие методы аппроксимации существуют для функции квадратного суперкорня?

Мне нужно реализовать приближение к обратному $x^x$ , т.е. функцию квадратного суперкорня (ssrt). Например, $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ означает, что $1.56^{1.56} \approx 2$ . Меня не так интересует какая-либо конкретная точность / битовая глубина, как понимание того, какие у меня варианты, в отличие от более простых подходов с использованием степенных рядов.

Wolfram Alpha дает хорошее символическое решение в терминах W-функции Ламберта (т. $\ln(x)/W(\ln(x))$ ). Википедия дает такую же формулу , как и эквивалент $e^{W(\ln(x))}$ . Учитывая, что имеется достаточное количество информации о вычислениях $W(x)$ [1] [2], технически это все, что нужно для реализации чего-либодля различных требований. Я знаю, по крайней мере, две книги, в которых подробно описывается аппроксимация $\ln(x)$ [3] [4], поэтому есть даже много возможностей для оптимизации в этом направлении.

Однако у меня есть два вопроса:

1. Были ли где-нибудь опубликованы методы аппроксимации, специфичные для этой функции?
2. Идет ли оно под другим именем, кроме «квадратный супер-корень», что немного облегчит поиск ссылок?

Википедия / Google опубликовали некоторые ссылки, посвященные более общим функциям «тетратации», которые включают $\mathrm{ssrt}(x)$ в качестве особого случая, но большинство из них, похоже, более приспособлены для изучения / определения общих случаев.

-

1. Corless, R .; Gonnet, G .; Заяц, Д .; Джеффри Д. Кнут, Дональд (1996), «О функции Ламберта W» http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
2. Электронная библиотека математических функций . http://dlmf.nist.gov/4.13
3. Crenshaw, Jack W. (2000), Math Toolkit для программирования в реальном времени.
4. Харт, Джон Ф. (1978), Компьютерные аппроксимации.
5. Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). Численная оценка W-функции Ламберта и ее применение для генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2. Операции IEEE по обработке сигналов 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
6. Минеро, Пол. Быстрая Приблизительная Ламберта W . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

-

Обновить

После этого еще несколько исследований , в течение последних нескольких дней, я до сих пор не нашел своего рода практических «Кренего стиль» лечение S S г т ( х ) я надеялся на, но я нашел новый Ссылка стоит документировать здесь. На третьей странице в [ 5 ] есть раздел, озаглавленный «Быстрое приближение», в котором подробно рассказывается о приближении W ( x ) в контексте генерации шума. Интересно отметить, что плотность вероятности «гауссовского шума с показателем 1/2» [в статье] выглядит поразительно похожей на гистограмму в ответе Келленджба на$[3]$$\mathrm{ssrt}(x)$$[5]$$W(x)$этот вопрос об обнаружении отсечения сигнала .

Кроме того, ссылка, предоставленная rwong в комментариях является отличным ресурсом для фактической реализации W ( x ) , и она даже ссылается на лицензированный проект BSD автора под названием fastapprox , который включает в себя описанную реализацию.$[6]$$W(x)$

Некоторые числовые удары в темноте дали следующий результат для итеративного подхода:

Мы ищем решение y = f (x), где y ^ y = x.

$$y \ln y = \ln x$$

$$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$$

Значение для является фиксированной точкой вышеприведенного уравнения, и эмпирически оно кажется сходящимся для некоторых значений x , но для больших значений x оно колеблется или расходится.$y$$x$$x$

Затем я попробовал подход, подобный итеративному квадратному корню Ньютона:

$$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$$

где y * должен представлять собой не сходящийся, но оптимистичный ответ, который сохраняет точность, если вы угадаете точное начальное значение (в квадратном корне y ² = x, это y * = x / y).

Это кажется сходящимся, но очень медленно в нижнем конце (около x m i n = ( $x$ )$x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

Это также выглядит, как хорошее первоначальное предположение: .$y_0 = \ln(x)+1$

Поэтому я подумал, что, может быть, есть более подходящее решение:

для некоторого значения a , являющегося функцией x .$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$$a$$x$

Тогда я нашел что-то интересное.

Если я получу сходящийся ответ из вышеприведенного подхода для y y = x , а затем вычислю y 2 = g ( x , y + ϵ ) = e ln ( x $y$$y^y = x$ , этовыглядит так,как будтоy2-y= приблизительноϵ×(-ln(y)).... например, если у нас было предположение, чтоy1=y+ϵдля некоторого неизвестногоϵ, и вычислилиy2=g(x,y1), то(y2-y)≈ϵ×(-ln$y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$$y_2-y$$\epsilon \times (-\ln(y))$$y_1 = y + \epsilon$$\epsilon$$y_2 = g(x,y_1)$ . (Просто чтобы уточнить, у меня нет анализа, чтобы подтвердить это, но цифры просто выпали из какой-то численной оценки, которую я выполнил.)$(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

Решите для линейных членов в , и вы получите y = y 2 + ln ( y ) × y $y$$y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$$\ln(y_1)$$\ln(y)$

$$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$$

$y = 1+\ln(x)$

(Кто-то может показать, что это в некотором роде эквивалентно Ньютон-Рафсону, но я думаю, что это за пределами моих возможностей.)