Что является хорошим примером эргодического процесса?

15

Я пытаюсь найти простые примеры эргодического процесса. Какой процесс приходит на ум в качестве хорошей иллюстрации его свойств?

Быстрое исследование ( Википедия , другой ответ ) в основном приводит примеры неэргодических процессов. Кроме того, мне интересно, какие явления в реальном мире можно смоделировать как эргодический процесс?

bluenote10
источник

Ответы:

11

Просто предположим, что я дам вам серию цифр и скажу, что они были выбраны случайным образом. И вы знаете, я не пытаюсь вас обмануть. Числа: 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 3 , 2 , 3 , 4 , 3 .

Теперь я предлагаю вам предсказать следующий или, по крайней мере, как можно ближе. Какой номер вы выберете?

[Думать]

[Вычислить]

  • Бьюсь об заклад, большинство читателей, вероятно, выберут число от 0 до 6 . Из-за ограниченного промежутка.
  • Возможно целое число. Кто может предложить π (даже думая о первых цифрах)?
  • Возможно 2 , 3 или 4 . Может быть, даже 3 .

По сути, вы предполагаете, что я предоставил числа с каким-то неизвестным правилом. И, возможно, вы можете подумать (или выдвинуть гипотезу), что последовательность данных чисел, если она достаточно длинная, может дать вам хорошее понимание правил, которые я имею в виду. Если вы сделаете это, вы предположите, что мой умственный процесс эргодичен:

процесс, в котором каждая последовательность или значительная выборка одинаково представляют целое (как в отношении статистического параметра) ( Merriam-Webster )

Здесь нет никакого способа быть уверенным в том, что мои серии следуют эргодическому процессу. 3432 - это PIN-код моей карты, 3 - ошибка (я хотел 6, но я неуклюжий), 4, 3, 1 и 5 - первые цифры π которые я использую довольно часто. Мой следующий «номер» был бы C (в шестнадцатеричном). Я не считаю этот процесс эргодическим. Каждый номер выходит из разных законов. Но, честно говоря, я не знаю. Может быть, я подчиняюсь некоторым силам высшего порядка, которые ведут меня по правилам эргодичности.

Таким образом, эргодичность является гипотезой своего рода «простоты» в правилах процесса. Как стационарность или редкость. Разыграть обычный кубик с 6 лицами. Бросить нормальную монету. Если ничто снаружи не пытается повлиять на результат (невидимое существо, которое ловит кубик и показывает какое-то лицо по своему выбору), вы, вероятно, произведете эргодический процесс.

Вместо того, чтобы бросать бесконечное количество монет с помощью бесконечного количества больших пальцев, точно в одну и ту же секунду, вы подбрасываете одну монету каждую секунду и считаете, что конечный результат примерно одинаков.

Броуновское движение также обладает эргодическими свойствами.

Лоран Дюваль
источник
Я действительно не могу предсказать следующий номер в вашем примере. Это может быть или 6, столько же, сколько может быть 7 , 898,52 или любое другое число. Я ничего не знаю о процессе, и даже если числа равномерно распределены во времени ... Я не могу заключить, наблюдая за процессом, если он эргодичен или нет. Кто знает, являются ли эти 3 сэмпла одной и той же случайной величины? Может быть, вы бросаете кубик каждый раз и выбираете число между 6 различными сериями ...067898.5236
MSM
6

Из статьи в Википедии:

случайный процесс называется эргодическим, если его статистические свойства могут быть получены из единственной, достаточно длинной случайной выборки процесса.

Другими словами: статистические свойства ансамбля времени совпадают со статистическими свойствами ансамбля реализации.

Возможно, нам нужно сделать шаг назад и поговорить о том, что такое стохастический процесс, чтобы начать.

Представь, что это бурный день. Вы сидите дома и смотрите в окно. Время от времени вы видите, как листья уносят ваше окно. Вы получаете маркеры на белой доске и рисуете систему координат на своем окне, так что теперь вы можете наблюдать несколько путей листьев и сравнивать их:

window

Таким образом, каждый путь - это одна из реализаций стохастического процесса «тропинки в бурный день».

yx

xyx .

Маркус Мюллер
источник
Хорошая иллюстрация! Что если проверка только одной реализации даст другой результат? Тогда это не эргодично? И не зависит ли определение в этом случае от размера ансамбля времени? Может быть, это достаточно долго, что смущает меня.
bluenote10
3

Как правило, труднее понять неэргодический случай (поэтому люди чаще ищут примеры таких процессов).

В качестве примера эргодического процесса, пусть процесс Икс(T)представляют повторные броски монет. В каждый разTу нас есть случайная величина Икс который может выбирать между 0 или 1, Если это честная монета, значит, ансамбль означает12 так как две возможности равновероятны.

Теперь, если вы повторите это испытание в течение большого количества раз, как N а затем рассчитать среднее время мзнак равноИкс(1)+Икс(2)+Nтогда вы можете увидеть, что м12, Следовательно, среднее по ансамблю равно среднему по времени, и процесс является эргодическим.

Что касается второй части вашего вопроса, мы можем использовать эргодичность для упрощения задач. Например, между средним по ансамблю и средним временем может быть сложно или даже невозможно рассчитать (или смоделировать). Но поскольку мы знаем (или предполагаем), что процесс эргодичен (то есть они идентичны), мы просто вычисляем тот, который проще. В качестве примера я могу привести методы Монте-Карло (например, те, которые мы используем для моделирования характеристик ошибок в системе связи), в которых мы моделируем цепочку передачи-приема, повторяем ее несколько раз и усредняем результаты, чтобы узнать о свойства ансамбля (например, вероятность ошибки и т. д.).

MSM
источник