Z-преобразование понижающей дискретизации

12

В этой статье или многоскоростной фильтрации автор устанавливает следующие математические отношения. Пусть yD будет выходным сигналом понижающей дискретизации, так что

yD[n]=x[Mn]

где M - фактор понижающей дискретизации. Другими словами, мы сохраняем каждую M выборку исходного сигнала. Затем автор заявляет следующее:

... Z-преобразование yD[n] дается

YD[z]=1Mk=0M1X[z1/MWk]

где Wk представляет собой M - точечное дискретное преобразование Фурье ядра, а именно e(j2πk)/M .

Как мы можем перейти от первого выражения ко второму? Какая связь между DFT и Z-преобразованием, которая допускает такой переход?

Phonon
источник

Ответы:

9

Этот вывод хитрый. Предложенный ранее подход имеет недостаток. Позвольте мне продемонстрировать это первым; тогда я дам правильное решение.

Мы хотим связать преобразование сигнала пониженной дискретизации, Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } , с Z- преобразованием исходного сигнала X ( z ) = Z { x [ n ] } .ZYD(z)=Z{x[Mn]}ZX(z)=Z{x[n]}

Неправильный путь

Можно было бы подумать о том, чтобы просто вставить выражение для пониженного сигнала в выражение преобразования:Z

YD(z)=n=+x[Mn]zn

Изменение переменной кажется очевидным:n=Mn

YD(z)=nMZx[n]zn/M

Тем не менее, важно понимать , что даже если новый индекс суммирования все еще работает от - до , сумма в настоящее время более 1 из M целых чисел . Другими словами,n

,nMZ={...,2M,M,0,M,2M,...}

в то время как определение преобразования требуетZ

.n{...,2,1,0,1,2,...}

Поскольку это больше не преобразование, мы не можем написать:Z

YD(z)=X(z1/M)

Правильный путь

Давайте сначала определим «вспомогательный» импульсный сигнал как:tM[n]

tM[n]=k=+δ[nkM]={1:nMZ0:nMZ

Эта функция равна на один из каждых M выборок и 0 на всех остальных.1M

Эквивалентно, функция последовательности импульсов может быть записана как:

tM[n]=1Mk=0M1ej2πkn/M

Доказательство. Нам нужно отдельно рассмотреть случаи и n M Z :nMZnMZ

В случаеnMZмы использовали выражение дляконечной суммы геометрического ряда.

tM[n]=1Mk=0M1ej2πkn/M={1Mk=0M11:nMZ1M1ej2πkn1ej2πkn/M:nMZ={1MM:nMZ1M111ej2πkn/M:nMZ={1:nMZ0:nMZ
nMZ

Теперь вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения преобразования понижающей дискретизации:Z

YD(z)=n=+x[Mn]zn

n=Mn

YD(z)=nMZx[n]zn/M

nZ

YD(z)=n=+tM[n]x[n]zn/M

Используя приведенную выше формулировку для функции импульсного поезда в качестве конечной суммы экспонент, получим:

YD(z)=n=+(1Mk=0M1ej2πkn/M)x[n]zn/M=1Mk=0M1n=+ej2πkn/Mx[n]zn/M=1Mk=0M1n=+x[n](ej2πk/Mz1/M)n

Zz=ej2πk/Mz1/M

YD(z)=1Mk=0M1X(ej2πk/Mz1/M)

Z

user9037
источник
1
Очень хорошо. Читая мой предыдущий ответ выше, я также заметил тот же недостаток, что и вы.
Джейсон Р
5

M

yD[n]=x[Mn]

z

YD(z)=n=yD[n]zn=n=x[Mn]zn

n=Mn

YD(z)=n=x[n]zn/M

zx[n]

X(z)=n=x[n]zn

zx[n]yD[n]

YD(z)=X(z1/M)

zzM

YD(z)zz1/MzYD(z)z1/MMzX(z)zCMM

{rp, rpej2πM, rpej2π2M,  , rpej2π(M1)M}

={rp, rpW, rpW2,  , rpWM1}

Wkej2πk/MrpMz

rp=|z|MejzM

zMrpzMzzMrp

YD(z)X(z1/M)zYD(z)MX(z1/M)MX(z1/M)YD(z)

YD(z)=1Mk=0M1X(rp(z)Wk)

rp(z)MzM1Mz1/M

YD(z)=f(g(z))f(z)=X(z)g(z)=z1/MYD(z)zYD(z)XX

Джейсон Р
источник
Очень хороший ответ.
Спейси
Благодарю. Любой лицензированный математик съежился бы от моей попытки описания (я, очевидно, инженер). Я не думаю, что это очень ясно, но, возможно, кто-то другой может предложить более четкое объяснение, или, возможно, я подумаю о лучшем способе сказать это.
Джейсон Р
Я понимаю первую половину, но к концу все становится неясным.
Спейси
Я должен переписать второй тайм, когда у меня будет шанс. Это действительно просто стандартная техника для получения выражения для композиции двух функций. Мне нужно вспомнить детали того, как это сделать.
Джейсон Р