В этой статье или многоскоростной фильтрации автор устанавливает следующие математические отношения. Пусть $y_D$ будет выходным сигналом понижающей дискретизации, так что

$$y_D[n] = x[Mn]$$

где $M$ - фактор понижающей дискретизации. Другими словами, мы сохраняем каждую $M$ выборку исходного сигнала. Затем автор заявляет следующее:

... Z-преобразование $y_D[n]$ дается

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

где $W^k$ представляет собой $M$ - точечное дискретное преобразование Фурье ядра, а именно $e^{(-j2\pi k)/M}$ .

Как мы можем перейти от первого выражения ко второму? Какая связь между DFT и Z-преобразованием, которая допускает такой переход?

Этот вывод хитрый. Предложенный ранее подход имеет недостаток. Позвольте мне продемонстрировать это первым; тогда я дам правильное решение.

Мы хотим связать преобразование сигнала пониженной дискретизации, Y D ( z ) = Z { x [ M n ] } , с Z- преобразованием исходного сигнала X ( z ) = Z { x [ n ] } .$\mathcal{Z}$$Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$$\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

Неправильный путь

Можно было бы подумать о том, чтобы просто вставить выражение для пониженного сигнала в выражение преобразования:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Изменение переменной кажется очевидным:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Тем не менее, важно понимать , что даже если новый индекс суммирования все еще работает от - ∞ до ∞ , сумма в настоящее время более 1 из M целых чисел . Другими словами,$n'$$-\infty$$\infty$

,$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$

в то время как определение преобразования требует$\mathcal{Z}$

.$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Поскольку это больше не преобразование, мы не можем написать:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Правильный путь

Давайте сначала определим «вспомогательный» импульсный сигнал как:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Эта функция равна на один из каждых M выборок и 0 на всех остальных.$1$$M$

Эквивалентно, функция последовательности импульсов может быть записана как:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Доказательство. Нам нужно отдельно рассмотреть случаи и n ∉ M Z :$n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

В случаеn∉MZмы использовали выражение дляконечной суммы геометрического ряда.

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ $n \notin M\mathbb{Z}$

Теперь вернемся к нашей первоначальной задаче нахождения преобразования понижающей дискретизации:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

Используя приведенную выше формулировку для функции импульсного поезда в качестве конечной суммы экспонент, получим:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

$\mathcal{Z}$

$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

$z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

$z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

$z$$z$$M$

$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$$M$$z$$X(z)$$z \in \mathbb{C}$$M$$M$

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

$z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

$Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

$r_p(z)$$M$$z$$M$$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

$Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$$Y_D(z)$$z$$Y_D(z)$$\sqrt{X}$$X$