Сколько отводов требуется для FIR-фильтра?

Я хочу разработать набор FIR-фильтров для реализации фильтра низких частот. Я также пытаюсь уменьшить задержку сигнала через фильтр, поэтому мне интересно, какое минимальное количество отводов я могу использовать.

Я знаю, что большее количество отводов может привести к более резкому обрезанию частоты и лучшему подавлению полосы останова и т. Д. Однако то, что меня интересует, является более фундаментальным - если я хочу реализовать фильтр нижних частот с обрезанием в скажем, означает ли это, что мне нужно как минимум 100 отводов для ослабления низкочастотных сигналов? Или я могу сойти с рук с меньшим количеством нажатий, и если да, то есть ли теоретический нижний предел?$\frac{f_s}{100}$

Ссылаясь на классическую цифровую обработку сигналов Bellanger - теория и практика , дело не в том, где находится ваша частота отсечки, а в том, какое затухание вам нужно, сколько пульсаций в сигнале, который вы хотите сохранить, вы можете терпеть и, что наиболее важно, как сузить ваш переход от pass- to stopband (ширина перехода) должен быть.

Я предполагаю, что вам нужен линейный фазовый фильтр (хотя вы указываете минимальную задержку, я не думаю, что минимальный фазовый фильтр - это хорошая идея, в общем, если вы не знаете, что вы собираетесь делать со своим сигналом впоследствии) , В этом случае порядок фильтрации (который является числом нажатий)

$$N\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}$$

с

$$\begin{align} f_s &\text{ the sampling rate}\\ \Delta f& \text{ the transition width,}\\ & \text{ ie. the difference between end of pass band and start of stop band}\\ \delta_1 &\text{ the ripple in passband,}\\ &\text{ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary"}\\ \delta_2 &\text{ the suppresion in the stop band}. \end{align}$$

Давайте подключим некоторые цифры! Вы указали частоту среза $\frac{f_s}{100}$ , так что я просто пойду и буду утверждать, что ширина вашего перехода не будет больше половины этого значения, поэтому$\Delta f=\frac{f_s}{200}$ .

Исходя из технологии SDR / RF, подавление 60 дБ обычно вполне достаточно - аппаратное обеспечение, без сумасшедших затрат, не будет лучше в предотвращении нежелательных сигналов от вашего входа, так что, давайте не будем тратить ЦП на фантастический фильтр, который лучше чем то, что может сделать ваше оборудование. Следовательно, $\delta_2 = -60\text{ dB} = 10^{-3}$ .

Допустим, вы можете жить с изменением амплитуды в полосе пропускания 0,1% (если вы можете жить с большим, также подумайте о том, чтобы сделать требование подавления менее строгим). Это $\delta_1 = 10^{-4}$ .

Итак, подключив это:

$$\begin{align} N_\text{Tommy's filter} &\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-4}\cdot10^{-3}}\right]\,\frac{f_s}{\frac{f_s}{200}}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-7}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10^{-6}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \left(\log_{10} 10^6\right) \,200\\ &= \frac 23 \cdot 6 \cdot 200\\ &= 800\text{ .} \end{align}$$

Итак, с вашими 200 ответвлениями вы далеко, если вы используете в своем фильтре чрезвычайно узкую полосу пропускания, как я и предполагал.

Обратите внимание , что это не имеет быть проблемой - прежде всего, фильтр 800-отводы это страшно, но , честно говоря, только на первый взгляд:

• Как я проверял в этом ответе в StackOverflow : ЦП в настоящее время работают быстро , если вы используете чью-то оптимизированную для ЦП реализацию FIR. Например, я использовал реализацию FFT-FIR в GNU Radio с приведенным выше описанием спецификации фильтра. Я получил производительность в 141 миллион выборок в секунду - этого может быть или не быть достаточно для вас. Итак, вот наш тестовый пример для конкретного вопроса (который занял у меня несколько секунд):
• $M$$M$$M=50$$\frac{1200}{50}= 24$
• $96\,\frac{\text{kS}}{\text{s}}\overset{\text{ridiculously}}{\ll}141\,\frac{\text{MS}}{\text{s}}$ упомянуто выше. Таким образом, время, потраченное на вычисление выходного сигнала фильтра, будет относиться только к потоковой передаче сигнала MS / s. Для DSP с автономными данными: ну, добавьте задержку к любому сигналу, который вы имеете параллельно с вашим фильтром для компенсации. (Если ваш фильтр имеет линейную фазу, его задержка будет вдвое меньше длины фильтра.) Это может иметь отношение к аппаратной реализации КИХ-фильтра.
• $\frac1{100}$

Для быстрой и очень практичной оценки мне нравится правило Фреда Харриса:

$$N_{taps} = \frac{Atten}{22*B_T}$$

где:

Atten - желаемое затухание в дБ,

$B_T$$B_T=\frac{F_{stop}- F_{pass}}{F_s}$

$F_{stop}$$F_{pass}$

$F_s$

Это очень близко к тому, что вы получите для линейного фазового фильтра с пульсацией полосы пропускания 0,1 дБ. Я часто использую это эмпирическое правило, чтобы получить первое представление о количестве необходимых отводов, а затем изменяю путем итерации в процессе проектирования фильтра.

Также следует отметить: это практическое правило дает отличное представление о том, что действительно определяет количество отводов: затухание в полосе останова и крутизну полосы перехода (и пульсацию полосы пропускания, но обычно - по крайней мере для фильтров, которые мне приходилось проектировать для приложения беспроводной связи - требование ослабления будет доминировать над пульсацией). Таким образом, в вашем вопросе о том, как ограничить Fs / 100, отсутствует вопрос о том, как быстро вам нужно перейти на стоп-полосу.

$F_s$$F_{pass}$$F_{stop}$

$N_{taps} = \frac{60}{22*2/100}=137$

Игра с этими числами также может продемонстрировать важность сокращения обработки с использованием методов децимации.

Добавление к принятому ответу несколько дополнительных ссылок. Я не буду писать формулы, которые могут быть задействованы. Эти формулы в большинстве случаев дают правило или аппроксимации для начала. Вы можете возиться с этими цифрами для вашего реального дизайна.

Одним из основополагающих принципов проектирования Беллангера является: «О сложности вычислений в цифровых фильтрах», 1981, Proc. Евро. Conf. Теория схемотехники, М. Беллангер. Это довольно сложно получить, но это выполнимо . Интересно, что в нем также указываются формулы для оценки количества бит на коэффициент, что следует учитывать при конечно-арифметической реализации. Более доступная версия на французском языке: Evaluation of la complexité des filtersres numériques , 1982.

Несколько других формул собраны в Конечном дизайне фильтра импульсной характеристики , Справочник по цифровой обработке сигналов, 1993, Т. Самамаки.

Совсем недавно вы можете прочитать Точную оценку минимальной длины фильтра для оптимальных цифровых фильтров FIR , 2000, K. Ichige et al.

Наконец, в статье « Эффективное проектирование КИХ-фильтров с минимальными заказами фильтров с использованием 10-нормативной оптимизации» в 2014 г. утверждается проект, в котором заказ постепенно уменьшается.

$$\text{minimize} \ \text{max}\left(\left| H(\omega) \right|\right) \text{for all } \omega \text{ in the stopband}$$ $$\text{subject to} \frac{1}{\delta} \leq \left| H(\omega) \right| \leq \delta \text{ for all } \omega \text{ in the passband}$$

Основными практическими проблемами, о которых я могу подумать, будет количество частотных выборок, используемых при оптимизации, так как поведение между частотными выборками может вызвать нежелательные эффекты. Насколько удачной может стать посадка, зависит, конечно, от количества нажатий. Я думаю, вы могли бы сказать, что минимальное количество нажатий - это когда проблема становится неосуществимой. Таким образом, одним из решений будет решение проблемы выполнимости.