Почему фильтры Гаусса используются в качестве фильтров нижних частот при обработке изображений?

При обработке 1d сигнала используются многие типы фильтров нижних частот. Гауссовы фильтры почти никогда не используются.

Почему они так популярны в приложениях обработки изображений? Являются ли эти фильтры результатом оптимизации какого-либо критерия или являются специальным решением, так как «пропускная способность» изображения обычно не определена правильно.

Приложения для обработки изображений отличаются от приложений для обработки звука, потому что многие из них настроены на глаз. Гауссовы маски почти идеально имитируют оптическое размытие (см. Также функции рассеяния точек ). В любом приложении обработки изображений, ориентированном на художественное производство, фильтры Гаусса используются для размытия по умолчанию.

Другим важным количественным свойством гауссовых фильтров является то, что они везде неотрицательны . Это важно, потому что большинство 1D-сигналов изменяются примерно на 0 ( ) и могут иметь положительные или отрицательные значения. Изображения отличаются в том смысле, что все значения изображения неотрицательны ( ). Свертка с гауссовым ядром (фильтр) гарантирует неотрицательный результат, поэтому такая функция отображает неотрицательные значения в другие неотрицательные значения ( ). Поэтому результатом всегда является другое действительное изображение.$x \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}^+$$f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

В целом, подавление частоты при обработке изображений не так критично, как в 1D сигналах. Например, в схемах модуляции ваши фильтры должны быть очень точными, чтобы отклонять другие каналы, передаваемые на разных несущих частотах, и так далее. Я не могу думать ни о чем, кроме как о проблемах обработки изображений.

Гауссовы фильтры используются при обработке изображений, потому что они обладают свойством, что их поддержка во временной области равна их поддержке в частотной области. Это происходит из-за Гаусса, являющегося его собственным преобразованием Фурье.

Каковы последствия этого? Что ж, если поддержка фильтра одинакова в обоих доменах, это означает, что соотношение обеих опор равно 1. Как оказалось, это означает, что фильтры Гаусса имеют «произведение минимальной ширины полосы пропускания».

Так что вы можете сказать? Что ж, при обработке изображений одной очень важной задачей является удаление белого шума, при этом сохраняя четкие края. Это может быть противоречивой задачей - белый шум существует на всех частотах одинаково, в то время как границы существуют в высокочастотном диапазоне. (Внезапные изменения в пространственных сигналах). При традиционном удалении шума посредством фильтрации сигнал фильтруется нижними частотами, что означает, что высокочастотные компоненты в вашем сигнале полностью удалены.

Но если изображения имеют края в качестве высокочастотных компонентов, традиционные LPF-функции также удаляют их, и визуально это проявляется в том, что края становятся более «смазанными».

Как тогда, чтобы удалить шум, но и сохранить высокочастотные края? Введите ядро ​​Гаусса. Поскольку преобразование Фурье гауссиана также является гауссовым, у фильтра Гаусса нет резкого обрезания на некоторой частоте полосы пропускания, за пределами которой удаляются все более высокие частоты. Вместо этого он имеет изящный и естественный хвост, который становится все ниже и ниже с увеличением частоты. Это означает, что он будет действовать как фильтр нижних частот, но также позволит использовать более высокочастотные компоненты, соразмерные с тем, насколько быстро его хвост распадается. (С другой стороны, у ФНЧ будет продукт с более высокой пропускной способностью, потому что его поддержка в F-области не так велика, как у гауссовцев).

Это тогда позволяет достигнуть лучшего из обоих миров - удаление шума, плюс сохранение края.

У вас уже есть хорошие ответы, но я просто добавлю еще одно полезное свойство 2D гауссовых фильтров, заключающееся в том, что они являются разделимыми , то есть 2D фильтр можно разложить на два 1D фильтра. Это может быть важным фактором производительности для больших размеров ядра, так как разделяемый фильтр MxN может быть реализован с M+Nмногократным сложением, тогда как неразделимый фильтр MxN требует M*Nмногократного добавления.

Руководство по imagemagick имеет отличное объяснение того, почему фильтрация с помощью функций sinc приводит к эффектам «звонка», а гауссианы - нет. ( http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#blurring и http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#circle_spectrum ). Если у вас есть края (несплошности) в вашем изображении (что делает большинство изображений), тогда полное отключение всех высоких частот оставляет вас в ряду в пространственной области. Вы также получаете сигнал, когда фильтруете прямоугольные волны с помощью функции sinc в одном измерении.

Там уже были прекрасные ответы, но я добавлю зерно соли, а не другую точку зрения:

Фильтрация на самом абстрактном уровне может рассматриваться как применение некоторых предварительных знаний к некоторым необработанным данным. Это означает, что применение некоторого алгоритма фильтрации, например, должно применить его до нахождения оптимального соотношения сигнал / шум.

Для изображения классическим априором является плавность значений (например, интенсивности) относительно положения (это можно рассматривать как функцию рассеяния точки, упомянутую @Phonon). Он часто моделируется как гауссовский, поскольку это форма, которую вы получите, смешивая различные объекты с известным радиусом гладкости (это называется центральной предельной теоремой ). Это в основном полезно, когда вы хотите создать производные изображения: вместо того, чтобы дифференцировать необработанный сигнал (который будет создавать шумный выход), вы должны делать это на сглаженном изображении. Это эквивалентно применению вейвлет-подобного оператора, такого как фильтры Габора .