Какова связь между сигмой в лапласианском гауссиане и двумя сигмами в разнице гауссианов?

Я понимаю, что фильтр Лапласа Гаусса может быть аппроксимирован фильтром Разности Гаусса, и что отношение двух сигм для последнего должно быть 1: 1,6 для наилучшего приближения. Однако, я не уверен, как две сигмы в Разнице Гауссианов относятся к сигме для лапласиана Гаусса. Является ли меньшая сигма в первом равно сигме второго? Большая сигма? Или отношения это что-то еще?

Я понимаю, что фильтр Лапласа Гаусса может быть аппроксимирован фильтром Разности Гаусса, и что отношение двух сигм для последнего должно быть 1: 1,6 для наилучшего приближения

Теоретически, чем меньше соотношение между двумя сигмами, тем лучше приближение. На практике в какой-то момент вы получите числовые ошибки, но пока вы используете числа с плавающей запятой, меньшие значения, чем 1.6, обеспечат вам лучшее приближение.

Чтобы проиллюстрировать это, я построил сечение LoG и DoG для нескольких значений k в Mathematica:

Как видите, k = 1.6 не является идеальным приближением. Например, k = 1,1 даст гораздо более близкое приближение.

Но обычно вы хотите рассчитать аппроксимации LoG для диапазона сигм. (В противном случае, зачем вообще прибегать к приближению DoG? Вычисление одного фильтрованного изображения LoG не дороже, чем вычисление одного фильтрованного изображения DoG.) Поэтому значение k обычно выбирается так, что вы можете рассчитать серию гауссовских фильтров изображения с сигмами s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., а затем вычислить различия между соседними гауссианами. Поэтому, если вы выберете меньшее k, вам придется рассчитать больше «слоев» гауссианов для того же сигма-диапазона. k = 1.6 - это компромисс между желанием приблизительного приближения и нежеланием вычислять слишком много разных гауссиан.

Однако, я не уверен, как две сигмы в Разнице Гауссианов относятся к сигме для лапласиана Гаусса. Является ли меньшая сигма в первом равно сигме второго?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Может быть, формулы здесь могут помочь вам.

Поскольку представление масштабного пространства удовлетворяет уравнению диффузии, LoG может быть вычислено как разность между двумя срезами масштабного пространства.

Поэтому при получении формулы DoG мы сначала приближаем LoG с конечным дифференцированием. Я думаю, что конкретное соотношение для сигмы исходит из того факта, что вначале делается единичный шаг в масштабе, чтобы приблизить LoG.