Интуитивное объяснение взаимной корреляции в частотной области

Согласно теореме о взаимной корреляции: взаимная корреляция между двумя сигналами равна произведению преобразования Фурье одного сигнала, умноженного на комплексное сопряжение преобразования Фурье другого сигнала. После этого, когда мы берем ifft сигнала продукта, мы получаем пик, который указывает на сдвиг между двумя сигналами.

Я не могу понять, как это работает? Почему я получаю пик, который указывает на сдвиг между двумя сигналами. Я получил математику от: http://mathworld.wolfram.com/Cross-CorrelationTheorem.html, но я не могу понять, что это означает интуитивно. Кто-нибудь может дать какое-нибудь объяснение или указать мне правильные документы?

Благодарность!

$x(t)$$y(t)$$X(f)$$Y(f)$

Вы можете прочитать больше о выводе этой теоремы по ссылке выше в Википедии. Теперь свертка сама по себе является очень важной операцией для линейных систем, поэтому теория ее свойств хорошо разработана.

$x(t)$$y(t)$

В вашем примере вы рассчитываете следующее:

Напомним, что в области Фурье комплексное сопряжение эквивалентно обращению времени во временной области (это следует непосредственно из определения преобразования Фурье). Следовательно, используя первое приведенное выше уравнение, мы можем утверждать, что:

$x(t)$$y(t)$

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end