Комплексный численный анализ

Какие ситуации численного анализа становятся более / менее стабильными, имеют более быструю / медленную сходимость или иным образом сильно различаются при работе с функциями комплексной переменной вместо функций реальной переменной?

algorithms VTT
источник

Ваш вопрос немного размыт ... Не могли бы вы предложить конкретную "ситуацию" или "алгоритм", который вы имели в виду? Это очень помогло бы нам ответить на ваш вопрос.

Павел

Единственный случай , когда это комплекс появляется число в числовых значениях Я знаю , что это уравнение Максвелла, но нет никакой внутренней трудности лишь некоторых чисел , находящихся в . Тем не менее, если вы замените все комплексные числа действительными векторами или матрицами, то вы увидите, что умножение на комплексное число становится умножением на кососимметричную матрицу. Не означает ли это что-нибудь.

C

$\mathbb C$

шухало

@Martin: комплексное поле является естественной установкой для полиномов в силу фундаментальной теоремы алгебры. Поскольку собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического полинома и в целом являются сложными даже для вещественных матриц, линейная алгебра наиболее естественно строится поверх комплексного поля.

Джек Полсон

С другой стороны, посмотрите, например, на QR-алгоритм с двойным сдвигом, который смещается в два раза точно, чтобы обойти использование сложной арифметики. Свидетельствуйте также о квадратичном алгоритме Дженкинса-Трауба, который был разработан, чтобы находить сложные корни многочленов в сопряженной паре одновременно ...

Меня это несколько раздражает, потому что, чтобы еще больше запутать микс, бывают случаи, когда комплексные числа в основном просто рассматриваются как пары действительных чисел для целей бухгалтерского учета.

Джефф Оксберри

Ответы:

Комплексное численное дифференцирование устойчиво, в отличие от реального численного дифференцирования.

См. Стр. 32-33 "Прикладного и вычислительного комплексного анализа", том 3, Питер Хенричи,

«Комплексная производная аппроксимация», Хоаким Рра Мартинс, Петер Стурдза и Хуан Х. Алонсо,

и эта статья в Википедии о методах сложных переменных для численного дифференцирования.

VTT
источник

Кроме того, численное использование формулы дифференцирования Коши иногда является жизнеспособным алгоритмом. См. Также методы Лайнесса и других, которые зависят от быстрого преобразования Фурье для вычисления коэффициентов Тейлора функции (то есть оценки последовательности производных при заданном значении).

Из любопытства, кроме статьи в Википедии, есть ли какие-либо онлайн-ресурсы, на которые вы могли бы указать нам?

Джефф Оксберри

@Geoff: Это и это касается подхода Lyness к дифференциации; Эта статья Сквайра и Траппа является оригинальной статьей, описывающей подход «сложного шага» к числовому дифференцированию.

В арифметике сложных интервалов используются разные типы интервалов, например, прямоугольные или круглые, поэтому здесь нужно учитывать больше, чем при использовании реальных интервалов.

«Комплексная интервальная арифметика и ее приложения», Миодраг Петкович, Лиляна Петкович

VTT
источник

Зачем отвечать на свой вопрос три раза вместо того, чтобы отвечать сразу тремя комментариями?

Джек Поулсон

Статья:

«Численные алгоритмы, основанные на теории комплексных переменных», JN Lyness - Труды 22-й национальной конференции 1967 года, 1967

VTT
источник