Стратегии для метода Ньютона, когда якобиан в решении сингулярен

12

Я пытаюсь решить следующую систему уравнений для переменных и x 2 (все остальные являются константами):P,x1x2

A(1P)2k1x1=0AP2k2x2=0(1P)(r1+x1)4L1P(r1+x2)4L2=0

Я вижу, что могу превратить эту систему уравнений в одно уравнение одной переменной , решив уравнения 1 и 2 для x 1 и x 2 соответственно и подставив их в уравнение 3. При этом я могу используйте команду matlab, чтобы найти решение. Используя параметры k 1 = k 2 = 1 , r 1 = r 2 = 0,2 и A = 2 , я нашел истинное решение P = x 1 = x(P)x1x2fzerok1=k2=1r1=r2=0.2A=2 .P=x1=x2=0.5

Однако, когда я использую метод Ньютона, примененный к исходной системе уравнений 3 - 3, итерации никогда не сходятся к решению, независимо от того, насколько близко я начинаю к истинному решению . x=(P,x1,x2)=(0.5,0.5,0.5)

Сначала я заподозрил ошибку в реализации метода Ньютона. После проверки несколько раз, я не нашел ошибки. Затем я попытался использовать начальное предположение , и вот, якобиан является сингулярным. Я знаю, что единичный якобиан может уменьшить порядок сходимости, но я не думаю, что это обязательно препятствует сходимости к истинному решению. x0=x

Итак, мой вопрос: учитывая, что якобиан системы при истинном решении является единственным:

  1. Какие еще условия необходимы, чтобы доказать, что метод Ньютона не сходится к корню?

  2. Будет ли стратегия глобализации (например, поиск строки) гарантировать конвергенцию, несмотря на единственное число якобиана?

Пол
источник

Ответы:

4

(1): Это зависит от поведения производных якобиана (sic!) В нулевом пространстве якобиана при решении. На практике никто не вычисляет эти производные, и я даже не удосужился вспомнить точные условия.

(2) работает, хотя сходимость только линейная.

Для получения суперлинейной сходимости (по крайней мере, в большинстве случаев) можно использовать тензорные методы. См., Например,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ индекс / X5G827367G548327.pdf

Арнольд Ноймайер
источник