Стратегии для метода Ньютона, когда якобиан в решении сингулярен

Я пытаюсь решить следующую систему уравнений для переменных и x 2 (все остальные являются константами):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Я вижу, что могу превратить эту систему уравнений в одно уравнение одной переменной , решив уравнения 1 и 2 для x 1 и x 2 соответственно и подставив их в уравнение 3. При этом я могу используйте команду matlab, чтобы найти решение. Используя параметры k 1 = k 2 = 1 , r 1 = r 2 = 0,2 и A = 2 , я нашел истинное решение P = x 1 = $(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$ .$P=x_1=x_2=0.5$

Однако, когда я использую метод Ньютона, примененный к исходной системе уравнений 3 - 3, итерации никогда не сходятся к решению, независимо от того, насколько близко я начинаю к истинному решению . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Сначала я заподозрил ошибку в реализации метода Ньютона. После проверки несколько раз, я не нашел ошибки. Затем я попытался использовать начальное предположение , и вот, якобиан является сингулярным. Я знаю, что единичный якобиан может уменьшить порядок сходимости, но я не думаю, что это обязательно препятствует сходимости к истинному решению. $x_0=x^*$

Итак, мой вопрос: учитывая, что якобиан системы при истинном решении является единственным:

1. Какие еще условия необходимы, чтобы доказать, что метод Ньютона не сходится к корню?

2. Будет ли стратегия глобализации (например, поиск строки) гарантировать конвергенцию, несмотря на единственное число якобиана?

(1): Это зависит от поведения производных якобиана (sic!) В нулевом пространстве якобиана при решении. На практике никто не вычисляет эти производные, и я даже не удосужился вспомнить точные условия.

(2) работает, хотя сходимость только линейная.

Для получения суперлинейной сходимости (по крайней мере, в большинстве случаев) можно использовать тензорные методы. См., Например,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ индекс / X5G827367G548327.pdf

Вместо линейного поиска вы можете попробовать изменить метод Ньютона на алгоритм Левенберга-Марквардта . Реализация достаточно проста, если вы используете Matlab.