Как модификации низкого ранга влияют на сходимость метода Крылова?

Скажем, у меня есть линейная система , которая быстро сходится, используя подходящий метод Крылова (такой как CG или GMRES) для всех b . Если B - матрица с низким рангом r , будет ли тот же метод Крылова в системе ( A + B ) x = b также быстро сходиться (в идеале с дополнительным числом итераций, которое примерно зависит только от r )?$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Примером такой системы может быть хорошо обусловленная упругость мембраны и изгиб, а также необусловленные условия давления воздуха с плотной структурой внешнего продукта.

Обратите внимание , что речь идет то же самое с или без предварительной подготовки, так как представляет собой ранг г модификация P A Q .$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Если ваше подпространство Крылова основано на степенях , сходимость будет отсрочена на количество итераций не более чем ранг поправки. Если он основан на степенях A T A, то самое большее в два раза больше этого числа.$A$$A^TA$

Я не видел такого утверждения в литературе. Но чтобы увидеть справедливость в первом случае, достаточно показать, что е пространство Крылова матрицы A + U S V T, где U , V имеют r столбцов, содержится в соответствующем пространстве без поправок низкого ранга, но с соответственно выше индекс k + r . Это просто проверить.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$