Полиномы, ортогональные по кривым в комплексной плоскости

Различные важные множества полиномов (Лежандр, Чебышев и др.) Ортогональны на некотором вещественном интервале с некоторым весом. Существуют ли известные семейства многочленов, ортогональных по другим кривым в комплексной плоскости?

Например, я хотел бы получить базис для многочленов степени n, ортогональных, скажем, по окружности

- 1 + \exp (i t)

$-1 + \exp(it)$

для . $0\le t< 2\pi$

Причина, по которой я публикую это здесь, состоит в том, что у меня есть численная проблема, включающая матрицу полиномиальных значений по точкам в комплексной плоскости. Используя мономиальную основу, она становится очень плохо обусловленной для большинства наборов точек. Я хотел бы использовать другую основу для улучшения кондиционирования, но не ясно, что использование, скажем, полиномов Лежандра или Чебышева улучшит кондиционирование общих кривых в комплексной плоскости.

basis-set special-functions Дэвид Кетчесон
источник

Я думаю, что ваше редактирование сделало почти весь мой ответ неуместным :-P Теперь это лучший вопрос.

Дэвид Z

Я подозреваю, что существует подходящая модификация алгоритма Чебышева для генерации коэффициентов рекурсии. Я дал ссылку на Сегу в вашем вопросе по математике.

Спасибо! Да, на этот вопрос очень хорошо ответили по математике. Вероятно, это то, что я должен был сначала задать.

Дэвид Кетчесон

Полиномы, ортогональные по кривым в комплексной плоскости

Ответы: