Каково текущее состояние дел в решении многомерных параболических уравнений в частных производных (многоэлектронное уравнение Шредингера)

Каково текущее состояние техники для решения многомерных (3-10) параболических PDE в сложной области с простыми полюсами (формы ) а поглощающие граничные условия?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

В частности, я заинтересован в решении многоэлектронного уравнения Шредингера:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Для двухатомной молекулы с более чем 1 электроном.

Решения для уравнения находятся в Если число электроновдостаточно мало,вы можете просто использовать любойтрадиционныйметод. Как и метод дискретизации домена (конечная разность, конечный элемент, граничный элемент) или псевдоспектральный метод. Поскольку решение этого уравнения не сложнее, чем решение многомерного волнового уравнения.

В случае более крупных систем для решения проблемы необходим некоторый прием . Мы заменим электрон-электронное взаимодействие для взаимодействия электрона с облаком электронов (приближение среднего поля остальных), а затем решим самосогласованным образом (из-за нелинейности, возникающей из среднего поля срок). Это сделано в теории Хартри-Фока и теории плотности (DFT). Где исходное дифференциальное уравнение превращается в вариационную формулировку.

В настоящее время ДПФ является наиболее распространенным методом, и его преимущество заключается в том, что все уравнения сформулированы в терминах плотности электронов, а не в терминах волновых уравнений. Итак, уравнения лежат в трехмерном пространстве. Одна книга, которая описывает оба эти метода

• Thijssen, Jos. Вычислительная физика. Издательство Кембриджского университета, 2007. Ссылка на Amazon .

Вы хотите решить для 3-10 систем частиц (3D на частицу)? Насколько мне известно, теории среднего поля не работают особенно хорошо для стольких частиц, но, похоже, была проведена ДПФ работа с двухатомными молекулами.

Является ли эта система действительной для Борна-Оппенгеймера? Если это так, я мог бы быть склонен расширить электронную волновую функцию, используя линейную комбинацию определителей Слейтера, возможно, используя разреженную сетку или спектральные разреженные сетки. Эта статья, возможно, могла бы помочь .

Другой вариант - попытаться использовать подход с жесткой связью, хотя тот факт, что вы упомянули поглощение граничных условий, предполагает, что вы можете думать о проблемах, связанных с ионизацией / диссоциацией. Туберкулез будет в основном полезен, если вы пытаетесь приблизиться к состояниям низкого уровня.

Возможно, что-то вроде мультиконфигурационного метода Хартри-Фока, зависящего от времени, может работать здесь MCTDHF .

Наконец, вы можете посмотреть на квантовые методы Монте-Карло. Это методы, с помощью которых получаются обменные и корреляционные функциональные модели для отдельных атомов для проведения расчетов DFT. Похоже, есть многоатомные расширения. (У меня нет ссылок на привилегии).

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

Из этого следует, что невозможно рассмотреть проблему со всеми электронами одновременно - вам нужно ограничить себя одним или двумя электронами одновременно. Это естественно приводит вас к таким методам, как метод Хартри Фока, который перебирает электроны, сохраняя при этом остальную часть системы фиксированной.

Я недостаточно хорошо знаком с этой областью, но думаю, что по этой теме есть много хорошо процитированных и хорошо написанных обзорных статей.