Аппроксимирующие унитарные матрицы

10

В настоящее время у меня есть 2 унитарные матрицы, которые я хочу аппроксимировать с хорошей точностью при меньшем количестве возможных квантовых элементов.

В моем случае две матрицы:

  • Квадратный корень НЕ ворот (до глобальной фазы)
    G=12(i11i)=e34πX
  • W=(10000121200121200001)

Мой вопрос заключается в следующем:

Как я могу аппроксимировать эти конкретные матрицы с меньшим количеством возможных квантовых элементов и хорошей точностью?

То, что я хочу иметь, может позволить себе иметь это:

  1. Я могу позволить себе использовать несколько дней / недель процессорного времени и много оперативной памяти.
  2. Я могу позволить себе потратить 1 или 2 человеческих дня в поисках математических уловок (в крайнем случае, поэтому я спрашиваю здесь сначала). Это время не включает время, которое мне понадобится для реализации гипотетических алгоритмов, используемых для первого пункта.
  3. Я хочу, чтобы разложение было почти точным. На данный момент у меня нет точности цели, но 2 схемы выше используются моей схемой, и я не хочу, чтобы ошибки накапливались слишком много.
  4. Я хочу, чтобы при разложении использовалось как можно меньше квантовых элементов. Этот момент является второстепенным на данный момент.
  5. Хороший метод позволил бы мне выбрать компромисс, который я хочу, между количеством квантовых вентилей и точностью приближения. Если это невозможно, вероятно, требуется точность не менее 10-6 (с точки зрения нормы следа) (как сказано выше, у меня нет оценок, поэтому я не уверен в этом пороге).
  6. Набор ворот:
    {ЧАС,Икс,Y,Z,рφ,S,T,рИкс,рY,рZ,CX,ОБМЕН,iSWAP,ОБМЕН}
    срφ,ОБМЕН,ОБМЕН как описано вВикипедии,рA- вращение относительно осиA(A- этоИкс,YилиZ) и
    iSWAPзнак равно(100000я00я000001)
    .

Методы, которые я знаю о:

  1. Алгоритм Соловая-Китаева. У меня есть реализация этого алгоритма, и я уже тестировал его на нескольких унитарных матрицах. Алгоритм генерирует последовательности, которые являются достаточно длинными, и компромисс [количество квантовых вентилей] VS [точность приближения] недостаточно параметризуем. Тем не менее, я выполню алгоритм на этих воротах и ​​отредактирую этот вопрос с результатами, которые я получил.
  2. Две статьи об аппроксимации 1-кубитных гейтов и n-кубитовых гейтов . Мне также нужно проверить эти алгоритмы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: отредактировал вопрос, чтобы сделать «квадратный корень не» более очевидным.

Nelimee
источник
Есть ли у вас какие-то особые намерения и есть причина, по которой вы не можете реализовать непосредственно / непосредственно на кубите? г
Mithrandir24601
1
Отредактированный, чтобы точно установить набор ворот, который я имел в виду :)
Nelimee
Похоже, что W может быть сделано с правильным sqrt (SWAP) + одним CNOT + однобитными гейтами.
Норберт Шух,
Мне интересно, что вы пытаетесь сделать с этим, если вы не возражаете против разработки.
Псита
Эти два затвора появляются в квантовых цепях для моделирования очень простых гамильтонианов (1-разреженных гамильтонианов с только действительными или только мнимыми элементами). Тезис, который развивает это, довольно трудно получить. Единственный способ, который я нашел, - попросить копию здесь и дождаться ответа в своем почтовом ящике :)
Nelimee

Ответы:

8

Вы выбрали две особенно простые матрицы для реализации.

Первая операция (G) - это просто квадратный корень из X gate (вплоть до глобальной фазы):

G ворота

рИкс(π/2)

Вторая операция (W) - это матрица Адамара в среднем блоке 2x2 матрицы, идентичной иначе. Каждый раз, когда вы видите этот паттерн 2х2 посередине, вы должны думать, что «контролируемая операция сопряжена CNOT». И это именно то, что работает здесь (примечание: вам может понадобиться поменять местами; зависит от вашего соглашения о порядке байтов):

W операция

Таким образом, единственная реальная проблема заключается в том, как реализовать управляемую операцию Адамара. Адамар - это поворот на 180 градусов вокруг оси X + Z. Вы можете использовать 45-градусное вращение вокруг оси Y, чтобы переместить ось X + Z к оси X, затем сделать CNOT вместо CH, а затем переместить ось назад:

W операция снова

Y1/4рY(π/4)

Крейг Гидни
источник
5

WWО(4)СNОTs

Конструкция является оптимальной в том смысле, что она требует двух вентилей CNOT и не более 12 шлюзов с одним кубитом (для наиболее общего случая реальных двухбитовых вентилей). Конструкция основана на гомоморфизме:

SО(4)SU(2)×SU(2),
W
Wзнак равноMUM
USU(2)SU(2)

MM

введите описание изображения здесь

Используя эту конструкцию, полная реализация gate, предоставленная Vatan и Williams:

введите описание изображения здесь

S1знак равноSZ(π2)р1знак равноSY(π2)

AВ

Дэвид Бар Моше
источник
4

Ни один из этих ворот не требует приблизительных последовательностей. Вы можете реализовать их точно с вашими заданными наборами ворот без особых усилий.

ЧАСSЧАС .

W

введите описание изображения здесь

Uзнак равносозπ8я-ягрехπ8YрY(θ)

DaftWullie
источник