Аппроксимирующие унитарные матрицы

В настоящее время у меня есть 2 унитарные матрицы, которые я хочу аппроксимировать с хорошей точностью при меньшем количестве возможных квантовых элементов.

В моем случае две матрицы:

• Квадратный корень НЕ ворот (до глобальной фазы) $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

Мой вопрос заключается в следующем:

Как я могу аппроксимировать эти конкретные матрицы с меньшим количеством возможных квантовых элементов и хорошей точностью?

То, что я хочу иметь, может позволить себе иметь это:

1. Я могу позволить себе использовать несколько дней / недель процессорного времени и много оперативной памяти.
2. Я могу позволить себе потратить 1 или 2 человеческих дня в поисках математических уловок (в крайнем случае, поэтому я спрашиваю здесь сначала). Это время не включает время, которое мне понадобится для реализации гипотетических алгоритмов, используемых для первого пункта.
3. Я хочу, чтобы разложение было почти точным. На данный момент у меня нет точности цели, но 2 схемы выше используются моей схемой, и я не хочу, чтобы ошибки накапливались слишком много.
4. Я хочу, чтобы при разложении использовалось как можно меньше квантовых элементов. Этот момент является второстепенным на данный момент.
5. Хороший метод позволил бы мне выбрать компромисс, который я хочу, между количеством квантовых вентилей и точностью приближения. Если это невозможно, вероятно, требуется точность не менее $10^{-6}$ (с точки зрения нормы следа) (как сказано выше, у меня нет оценок, поэтому я не уверен в этом пороге).
6. Набор ворот: $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ с$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ как описано вВикипедии,$R_A$- вращение относительно оси$A$($A$- это$X$,$Y$или$Z$) и $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ .

Методы, которые я знаю о:

1. Алгоритм Соловая-Китаева. У меня есть реализация этого алгоритма, и я уже тестировал его на нескольких унитарных матрицах. Алгоритм генерирует последовательности, которые являются достаточно длинными, и компромисс [количество квантовых вентилей] VS [точность приближения] недостаточно параметризуем. Тем не менее, я выполню алгоритм на этих воротах и ​​отредактирую этот вопрос с результатами, которые я получил.
2. Две статьи об аппроксимации 1-кубитных гейтов и n-кубитовых гейтов . Мне также нужно проверить эти алгоритмы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: отредактировал вопрос, чтобы сделать «квадратный корень не» более очевидным.

Вы выбрали две особенно простые матрицы для реализации.

Первая операция (G) - это просто квадратный корень из X gate (вплоть до глобальной фазы):

$R_X(\pi/2)$

Вторая операция (W) - это матрица Адамара в среднем блоке 2x2 матрицы, идентичной иначе. Каждый раз, когда вы видите этот паттерн 2х2 посередине, вы должны думать, что «контролируемая операция сопряжена CNOT». И это именно то, что работает здесь (примечание: вам может понадобиться поменять местами; зависит от вашего соглашения о порядке байтов):

Таким образом, единственная реальная проблема заключается в том, как реализовать управляемую операцию Адамара. Адамар - это поворот на 180 градусов вокруг оси X + Z. Вы можете использовать 45-градусное вращение вокруг оси Y, чтобы переместить ось X + Z к оси X, затем сделать CNOT вместо CH, а затем переместить ось назад:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

Конструкция является оптимальной в том смысле, что она требует двух вентилей CNOT и не более 12 шлюзов с одним кубитом (для наиболее общего случая реальных двухбитовых вентилей). Конструкция основана на гомоморфизме:

$M$$M$

Используя эту конструкцию, полная реализация gate, предоставленная Vatan и Williams:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

Ни один из этих ворот не требует приблизительных последовательностей. Вы можете реализовать их точно с вашими заданными наборами ворот без особых усилий.

$HSH$ .

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$