Почему квантовые ворота унитарные, а не специальные унитарные?

11

Учитывая, что глобальные фазы состояний не могут быть физически различимы, почему квантовые цепи выражаются в терминах унитарных, а не специальных унитарных? Один ответ, который я получил, состоял в том, что это просто для удобства, но я все еще не уверен.

С этим связан вопрос: есть ли различия в физической реализации унитарной (математической матрицы) и , скажем, с точки зрения некоторых элементарных ворот? Предположим, что нет (как я понимаю). Тогда физическая реализация и должна быть одинаковой (просто добавьте элементы управления элементарным воротам). Но затем я получаю противоречие, что и этих двух унитарных не могут быть эквивалентны до фазы (как математические матрицы), поэтому кажется вероятным, что они соответствуют различным физическим реализациям ,V : = e i α U c - U c - V c - U c - VUV:=eiαUc-Uc-Vc-Uc-V

Что я сделал неправильно в своих рассуждениях здесь, потому что теперь он предполагает, что и должны быть реализованы по-разному, даже если они эквивалентны по фазе?VUV

Еще один связанный с этим вопрос (на самом деле источник моей путаницы, я был бы очень благодарен за ответ на этот вопрос): кажется, что можно использовать квантовую схему для оценки как модуля, так и фазы комплексного перекрытия (см. Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Но не означает ли это снова, что и заметно различаются?U е я α Uψ|U|ψUeiαU

DCW
источник
Вместо философии точнее сказать проективную унитарную группу Это потому, что операция состоит в том, чтобы взять произвольную унитарную матрицу и потерять фазу по сравнению с подмножеством, для которого эта фаза равна 1 . Карты идут S U U P U, поэтому они находятся на противоположных сторонах стрелок. PU1SUUPU
Хусейн
@ AHusain Что такое "Карты"? С точки зрения Факторизуя, оно будет идти . USUPU
Норберт Шух
Нет. SU - это подмножество с определителем 1, поэтому оно включает в себя карту с U. PU является частным. Вы можете взять проективное унитарное и дать представителя в SU с определителем 1, но это не является автоматическим.
AHusain

Ответы:

9

Даже если вы ограничитесь только специальными унитарными операциями, государства все равно будут накапливать глобальную фазу. Например, является специальным унитарным, но Z | 0 = я | 0 | 0 .Z=[i00i]Z|0знак равноя|0|0

Если в любом случае государства собираются накапливать ненаблюдаемую глобальную фазу , какую выгоду мы получим, ограничившись специальными унитарными операциями?

есть ли различия в физической реализации унитарной (математической матрицы) и V : = e i α U , скажем, с точки зрения некоторых элементарных ворот?UВзнак равноеяαU

Пока вы не делаете ничего, что могло бы сделать глобальные фазы актуальными, они могут иметь одинаковую реализацию. Но если вы собираетесь сделать что-то вроде

добавить элементы управления для элементарных ворот

Да, вот так. Если вы делаете такие вещи, то вы не можете игнорировать глобальные фазы. Элементы управления превращают глобальные фазы в относительные фазы. Если вы хотите полностью игнорировать глобальную фазу, у вас не может быть черного поля «добавить элемент управления» модификатор операции.

Крейг Гидни
источник
Спасибо, но не существует модификатора «добавить элемент управления» для шлюзов в универсальном наборе шлюзов, и вы могли бы сначала разложить и V на эти вентили, чтобы добавить контроль, например, c- X является вентилем CNOT. UВИкс
DCW
1
@Daochen Да, вы можете сделать это, но это не пример добавления элемента управления при игнорировании глобальной фазы подоперации. Вы должны будете явно определить глобальную фазу подоперации при принятии решения, что именно должна делать общая контролируемая операция и как ее разложить.
Крейг Гидни,
8

Тот факт, что квантовые ворота являются унитарными, коренится в том факте, что эволюция (замкнутых) квантовых систем осуществляется по уравнению Шрединера. Для временного интервала, в котором мы пытаемся реализовать конкретное унитарное преобразование с постоянной скоростью, мы используем не зависящее от времени уравнение Шредингера:

ddT|ψ(T)знак равно1яЧАС|ψ(T),

ЧАСЧАС

|ψ(T)знак равноехр(-яЧАСT/)|ψ(0)
Uзнак равноехр(-яЧАСT/)ЧАСЕеяЕT/, Таким образом, из матрицы с действительными собственными значениями мы получаем матрицу, собственными значениями которой являются комплексные числа с единичной нормой.

11ЧАСЧАСсумма его собственных значений равна нулю, зависит от того, как вы решили установить, какова ваша точка нулевой энергии - что в действительности является субъективным выбором системы отсчета. (В частности, если вы решите принять соглашение о том, что все ваши энергетические уровни неотрицательны, это означает, что ни одна интересная система никогда не будет обладать свойством собственных значений энергии, суммирующих до нуля.)

Короче говоря, ворота являются унитарными, а не специальными унитарными, потому что определитель ворот не соответствует физически значимым свойствам - в явном смысле, что ворота возникают из физики, а условия, которые соответствуют определителю ворот: 1 это состояние собственной системы отсчета, а не физической динамики.

Ниль де Бодрап
источник
4

При написании ворота для, например, диаграмма , квантовая схема, вы могли всегда писать их , используя условность , имеющий определитель один (из специальной унитарной группы), но это всего лишь условность. Это не имеет никакого физического значения для схемы, которую вы реализуете. Как уже говорилось в другом месте , соответствует ли то, что вы производите естественным образом, непосредственно специальному унитарному набору, и где вы определяете свою энергию 0.

UВзнак равноеяαВUU(100еяα)U(е-яα/200еяα/2)

DaftWullie
источник
0

|ψ(t)=eiHt|ψ(0)ЧАС

user1271772
источник