Почему квантовые ворота унитарные, а не специальные унитарные?

Учитывая, что глобальные фазы состояний не могут быть физически различимы, почему квантовые цепи выражаются в терминах унитарных, а не специальных унитарных? Один ответ, который я получил, состоял в том, что это просто для удобства, но я все еще не уверен.

С этим связан вопрос: есть ли различия в физической реализации унитарной (математической матрицы) и , скажем, с точки зрения некоторых элементарных ворот? Предположим, что нет (как я понимаю). Тогда физическая реализация и должна быть одинаковой (просто добавьте элементы управления элементарным воротам). Но затем я получаю противоречие, что и этих двух унитарных не могут быть эквивалентны до фазы (как математические матрицы), поэтому кажется вероятным, что они соответствуют различным физическим реализациям ,V : = e i α U c - U c - V c - U c - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

Что я сделал неправильно в своих рассуждениях здесь, потому что теперь он предполагает, что и должны быть реализованы по-разному, даже если они эквивалентны по фазе?$U$$V$

Еще один связанный с этим вопрос (на самом деле источник моей путаницы, я был бы очень благодарен за ответ на этот вопрос): кажется, что можно использовать квантовую схему для оценки как модуля, так и фазы комплексного перекрытия (см. Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Но не означает ли это снова, что и заметно различаются?U е я α$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

Даже если вы ограничитесь только специальными унитарными операциями, государства все равно будут накапливать глобальную фазу. Например, является специальным унитарным, но Z ⋅ | 0 ⟩ = я | 0 ⟩ ≠ | 0 ⟩ .$Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Если в любом случае государства собираются накапливать ненаблюдаемую глобальную фазу , какую выгоду мы получим, ограничившись специальными унитарными операциями?

есть ли различия в физической реализации унитарной (математической матрицы) и V : = e i α U , скажем, с точки зрения некоторых элементарных ворот?$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Пока вы не делаете ничего, что могло бы сделать глобальные фазы актуальными, они могут иметь одинаковую реализацию. Но если вы собираетесь сделать что-то вроде

добавить элементы управления для элементарных ворот

Да, вот так. Если вы делаете такие вещи, то вы не можете игнорировать глобальные фазы. Элементы управления превращают глобальные фазы в относительные фазы. Если вы хотите полностью игнорировать глобальную фазу, у вас не может быть черного поля «добавить элемент управления» модификатор операции.

Тот факт, что квантовые ворота являются унитарными, коренится в том факте, что эволюция (замкнутых) квантовых систем осуществляется по уравнению Шрединера. Для временного интервала, в котором мы пытаемся реализовать конкретное унитарное преобразование с постоянной скоростью, мы используем не зависящее от времени уравнение Шредингера:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ $U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$, Таким образом, из матрицы с действительными собственными значениями мы получаем матрицу, собственными значениями которой являются комплексные числа с единичной нормой.

$1$$1$$H$$H$сумма его собственных значений равна нулю, зависит от того, как вы решили установить, какова ваша точка нулевой энергии - что в действительности является субъективным выбором системы отсчета. (В частности, если вы решите принять соглашение о том, что все ваши энергетические уровни неотрицательны, это означает, что ни одна интересная система никогда не будет обладать свойством собственных значений энергии, суммирующих до нуля.)

Короче говоря, ворота являются унитарными, а не специальными унитарными, потому что определитель ворот не соответствует физически значимым свойствам - в явном смысле, что ворота возникают из физики, а условия, которые соответствуют определителю ворот: 1 это состояние собственной системы отсчета, а не физической динамики.

При написании ворота для, например, диаграмма , квантовая схема, вы могли всегда писать их , используя условность , имеющий определитель один (из специальной унитарной группы), но это всего лишь условность. Это не имеет никакого физического значения для схемы, которую вы реализуете. Как уже говорилось в другом месте , соответствует ли то, что вы производите естественным образом, непосредственно специальному унитарному набору, и где вы определяете свою энергию 0.

$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$