Почему мы используем стандартный набор ворот, который мы используем?

Обычно используемый набор ворот для квантовых вычислений состоит из одинарных кубитов Клиффордса (Паулиса, H и S) и контролируемого-НЕ и / или управляемого-Z.

Чтобы выйти за пределы Клиффорда, нам бы хотелось иметь полные вращения одного кубита. Но если мы минимальны, мы просто идем к T (четвертый корень Z).

Эта конкретная форма набора ворот выскакивает все. Например, например, Quantum Experiment от IBM.

Почему именно эти ворота? Например, H выполняет работу по отображению между X и Z. S аналогично выполняет работу по отображению между Y и X, но также вводится фактор $-1$ . Почему бы нам не использовать унитарное подобие Адамару $(X+Y)/\sqrt{2}$ вместо S? Или почему мы не используем квадратный корень из Y вместо H? Конечно, это было бы математически эквивалентно, но это выглядело бы более согласованно.

И почему наши врата без Клиффорда являются четвертым корнем Z? Почему не четвертый корень X или Y?

Какие исторические соглашения привели к этому конкретному выбору ворот?

Любой, кто написал статью и спросил себя, могут ли они улучшить нотацию или представить анализ немного иначе, чтобы сделать ее более элегантным, знаком с тем фактом, что выбор нотации, описания и анализа может быть выбран случайно. без глубоких побуждений. В этом нет ничего плохого, просто нет веского оправдания тому, чтобы быть особым образом. В больших сообществах людей, более озабоченных (возможно, разумом) выполнением задач, а не представлением максимально чистой картины, это будет происходить постоянно.

Я думаю, что окончательный ответ на этот вопрос будет примерно таким: это в основном историческая случайность. Я сомневаюсь, что есть какие-то глубоко продуманные причины того, что наборы ворот являются такими, какие они есть, равно как и нет глубоко продуманных причин, по которым мы говорим о состоянии Белла несколько чаще, чем государство| Ψ-⟩=(|01$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$ .$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Но мы все еще можем рассмотреть, как произошла авария, и есть ли что-то, что мы можем узнать о систематических способах мышления, которые могли бы привести нас туда. Я ожидаю, что причины в конечном итоге исходят из культурных приоритетов компьютерных ученых, причем глубокие и поверхностные предубеждения играют роль в том, как мы описываем вещи.

Отступление о Белле

Если вы будете терпеть меня, я бы хотел остановиться на примере двух состояний Белла $\lvert \Phi^+ \rangle$ и как ориентировочный пример того , как в конечном счете произвольной конвенции может произойти случайно, отчасти из - за предубеждений , которые не имеют глубокие математические корни.$\lvert \Psi^- \rangle$

Одна очевидная причина предпочтения над | Ψ - ⟩ является то , что первое является более очевидно , симметричны. Как мы добавим два компонента для | Φ + ⟩ , нет явной необходимости защищать, почему мы пишем это так, как мы. Напротив, мы могли бы так же легко определить | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ с противоположным знаком, который не лучше или хуже мотивирован, чем выбор| Ψ-⟩=(|01⟩-|$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Это создает ощущение, что мы делаем более произвольный выбор при определении| Ψ-⟩.$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Даже выбор базы несколько гибок в случае : мы можем написать | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + | - - ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$ и получить то же состояние. Но дела пойдут немного хуже, если вы начнете рассматривать собственные состояния| ±я⟩:=(|0⟩±I|$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ изYоператора: мы имеем| Φ+⟩=(|+я⟩|-я⟩+|-я⟩|+я⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Это все еще выглядит довольно симметрично, но становится ясно, что наш выбор базиса играет нетривиальную роль в том, как мы определяем| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Шутка на нас. Причина почему кажется «более симметричным», чем | Ψ - ⟩ , потому что | Ψ - ⟩ буквально наименее симметричное состояние двух кубитов, и это делает его более мотивированы , чем | Φ + ⟩ вместо менее мотивированных. | Ψ - ⟩ состояние является уникальным антисимметричным состояние: единственное состояние , которое является - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ Собственный вектор операции SWAP и, следовательно, участвует в тесте управляемого SWAP на различимость состояния кубита, помимо прочего.

• We can describe $\lvert \Psi^- \rangle$ up to a global phase as для буквально любого состояния одного кубита| & alpha⟩и ортогональное состояние$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$, meaning that the properties which make it interesting are independent of the choice of basis.
• Даже глобальная фаза, которую вы используете, чтобы написать состояние не влияет на определение | Ψ - ⟩ до более глобальной фазы. То же самое не относится к | Φ + ⟩ : как упражнение для читателя, если | 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩ , то , что ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ) /$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Meanwhile, $\lvert \Phi^+ \rangle$ is just one maximally entangled state in the three-dimensional symmetric subspace on two qubits — the subspace of $+1$ eigenvectors of the SWAP operation — and therefore no more distinguished in principle than, say, $\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$.

After learning a thing or two about the Bell states, it becomes clear that our interest in $\lvert \Phi^+ \rangle$ in particular is motivated only by a superficial symmetry of notation, and not any truly meaningful mathematical properties. It is certainly a more arbitrary choice than $\lvert \Psi^- \rangle$. The only obvious motivation for preferring $\lvert \Phi^+ \rangle$ are sociological reasons having to do with avoiding minus signs and imaginary units. And the only justifiable reason I can think of for that are cultural: specifically, in order to better accomodate students or computer scientists.

Who ordered CNOT?

You ask why we don't talk more about $(X + Y)\big/\sqrt 2$. To me the more interesting question that you also ask: we do we talk so much about $H = (X + Z)\big/\sqrt 2$, when $\sqrt Y$ does many of the same things? I have seen talks given by experimental optical physicists to students, who even describe performing $\sqrt Y$ on a standard basis state as performing a Hadamard gate: but it was a $\sqrt Y$ gate that was actually more natural for him. The operator $\sqrt Y$ is also more directly related to the Pauli operators, obviously. A serious physicist might consider it curious that we dwell so much on the Hadamard instead.

But there is a bigger elephant in the room — when we talk about CNOT, why are we talking about CNOT, instead of another entangling gate $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$ which is symmetric on its tensor factors, or better yet $U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$ which is more closely related to the natural dynamics of many physical systems? Not to mention a unitary such as $U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$ or other such variants.

The reason, of course, is that we are explicitly interested in computation rather than physics per se. We care about CNOT because how it transforms the standard basis (a basis which is preferred not for mathematical or physical reasons, but for human-centered reasons). The gate $U$ above is slightly mysterious from the point of a computer scientist: it is not obvious on the surface of it what it is for, and worse, it is full of icky complex coefficients. And the gate $U'$ is even worse. By contrast, CNOT is a permutation operator, full of 1s and 0s, permuting the standard basis in a way which is obviously relevant to the computer scientist.

Though I'm making a bit of fun here, in the end this is what we're studying quantum computation for. The physicist can have deeper insights into the ecology of the elementary operations, but what the computer scientist cares about at the end of the day is how primitive things can be composed into comprehensible procedures involving classical data. And that means not caring too much about symmetry on the lower logical levels, so long as they can get what they want out of those lower levels.

We talk about CNOT because it is the gate that we want to spend time thinking about. From a physical perspective gates such as $U$ and $U'$ as above are in many cases the operations we would think about for realising CNOT, but the CNOT is the thing that we care about.

Deep, and not so deep, reasons to prefer the Hadamard gate

I expect that the priorities of computer scientists motivate a lot of our conventions, such as why we talk about $(X + Z)\big/\sqrt 2$, instead of $\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$.

The Hadamard operation is already slightly scary to computer scientists who are not already acquainted with quantum information theory. (The way it is used sounds like non-determinism, and it even uses irrational numbers!) But once a computer scientist gets past the initial revulsion, the Hadamard gate does have properties that they can like: at least it only involves real coefficients, it is self-inverse, and you can even describe the eigenbasis of $H$ with just real coefficients.

One way in which the Hadamard often arises is in describing toggling between the standard basis $\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$ and 'the' conjugate basis $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$ (that is to say, the eigenbasis of the $X$ operator, as opposed to the $Y$ operator) — the so-called 'bit' and the 'phase' bases, which are two conjugate bases that you can express using only real coefficients. Of course, $\sqrt Y$ also transforms between these bases, but also introduces a non-trivial transformation if you perform it twice. If you want to think of "toggling between two different bases in which you might store information", the Hadamard gate is better. But — this can only be defensible if you think it is important specifically to have

• a gate $H$ transforming between the standard basis and the very specific basis of $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$;
• if you care specifically about $H$ having order $2$.

You might protest and say that it is very natural to consider toggling between the 'bit' and 'phase' bases. But where did we get this notion of two specific bases for 'bit' and 'phase', anyway? The only reason why we single out $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$ as 'the' phase basis, as opposed for instance to $\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$, is because it can be expressed with only real coefficients in the standard basis. As for preferring an operator with order $2$, to mesh with the notion of toggling, this seems to indicate a particular preference for considering things by 'flips' rather than reversible changes of basis. These priorities smack of the interests of computer science.

Unlike the case between $\lvert \Phi^+ \rangle$ versus $\lvert \Psi^- \rangle$, the computer scientist does have one really good high-level argument for preferring $H$ over $\sqrt Y$: the Hadamard gate is the unitary representation of the boolean Fourier transform (that is, it is the quantum Fourier transform on qubits). This is not very important from a physical perspective, but it is very helpful from a computational perspective, and a very large fraction of theoretical results in quantum computation and communication ultimately rest on this observation. But the boolean Fourier transform already bakes in the asymmetries of computer science, in pre-supposing the importance of the standard basis and in using only real coefficients: an operator such as $(X + Y)\big/\sqrt 2$ would never be considered on these grounds.

Diagonal argument

If you're a computer scientist, once you have Hadamard and CNOT, all that's left is to get those pesky complex phases sorted as an afterthought. These phases are extremely important, of course. But just the way we talk about relative phases reveals a discomfort with the idea. Even describing the standard basis as the 'bit' basis, for storing information, puts a strong emphasis that whatever 'phase' is, it's not the usual way that you would consider storing information. Phases of all sorts are something to be dealt with after the 'real' business of dealing with magnitudes of amplitudes; after confronting the fact that one can store information in more than one basis. We barely talk at all about even purely imaginary relative phases if we can help it.

One can cope with relative phases pretty easily using diagonal operators. These have the advantage of being sparse (with respect to the standard basis...) and of only affecting the relative phase, which is after all the detail which we're trying to address at this stage. Hence $T \propto \sqrt[4]Z$. And once you've done that, why do more? Sure, we could as easily consider arbitrary $X$ rotations (and because of Euler decomposition, we do play some lip-service to these operations) and arbitrary $Y$ rotations, which would motivate $\sqrt[4]X$ and $\sqrt[4]Y$. But these don't actually add anything of interest for the computer scientist, who considers the job done already.

And not a moment too soon — because computer scientists don't really care about precisely what the primitive operations being used are as soon as they can justify move on to something higher-level.

Summary

I don't think there is likely to be any very interesting physically-motivated reason why we use a particular gate-set. But it is certainly possible to explore the psychologically-motivated reasons why we do. The above is a speculation in this direction, informed by long experience.