Как создать точную Tissot Indicatrix?

31

Индикатор Tissot Indicatrix - это полезный метод для быстрого выявления видов искажений, которым подвержена данная проекция (на рисунке ниже каждый из красных кружков занимает одну и ту же область). Мне сказали, что у популярных методов генерации TI есть свои проблемы, вплоть до того, что они иногда ужасно неточны.

В чем проблема с популярными методами, и каков наиболее правильный способ создания TI, который доступен вашему среднему ГИС-чуваку (ette)?

Меркатор и глобусы с тканями

Мэтт Уилки
источник
2
отличный вопрос Я бы тоже хотел это знать.
Джордж Сильва

Ответы:

23

Любое программное обеспечение, которое может точно проецировать координаты, может вычислить точные показатели Tissot .

Хороший источник для формул - Снайдер, Джон, Картографические проекции - рабочее руководство , в основном на стр. 20-26. (Я не буду воспроизводить их здесь, потому что на этом сайте нет соответствующих инструментов для передачи математических формул.) Для них требуются все четыре первых производных проецируемых координат (x, y) по сферическим координатам (lat, lon) = (фи, лямбда):

dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).

Все остальное в TI вычисляется в терминах их (с использованием некоторых арифметических и тригонометрических функций: косинуса, главного обратного синуса и главного обратного тангенса). Расчеты требуют описания формы Земли. Для наибольшей точности используйте эллипсоидальные данные с большой полуосью а и эксцентриситетом е. (Это будет известно программному обеспечению.)

Книга Снайдера содержит инструкции о том, как вычислить все, кроме этих производных. Сделайте это численно. Я получил отличные результаты, используя центральные конечно-разностные оценки первого порядка на расстоянии h = 10 ^ (- 5.2) радиан (обычно около 50 метров): это хороший компромисс между попыткой приблизиться к бесконечно малой точке и потерей слишком большой точности из округление с плавающей запятой (при условии двойной точности), поскольку допущенная ошибка пропорциональна (10 ^ (- 5.2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10.4) и 10 ^ (- 5.2) равна 10 ^ 10,4 раз точности IEEE с двойной точностью 10 ^ (- 15,6), и это все еще намного больше, чем типичная точность в проекциях, которые обычно составляют от 10 ^ (- 10) до примерно 10 ^ (- 14).

Итак, как вы вычисляете оценки конечных разностей? Эта часть удивительно проста. Чтобы получить dx / d (phi) в точке (phi, lambda), попросите вашу ГИС спроецировать точки

(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).

Используйте оценки

dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.

Аналогично, спроецируйте точки

(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)

и использовать оценки

dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.

Это занимает четыре проекции и немного арифметики. (Вы можете уменьшить его до трех, используя нецентральные различия, но точность немного снижается. Это мудрая цель для высокой точности, не позволяя h становиться слишком маленьким, если только вы не уверены, что ваша ГИС использует оценку съемки (миллиметр) точность в своих проекционных формулах.)

Из этих производных, наряду с формулами Снайдера (обращая внимание на модификации, описанные в 4-19 и 4-21), вы можете получить длины осей индикатрисы Тиссо в (фи, лямбда) и ее ориентацию. На картах мирового масштаба TI будет настолько маленьким, что станет невидимым, поэтому последнее, что нужно сделать, это решить, насколько вы хотите изменить масштаб каждого TI. Я определяю масштабный коэффициент, выясняя, насколько большой будет карта, определяя размеры типичных TI по ​​всей карте и масштабируя их так, чтобы эти TI были примерно на 6% ширины карты. В любом случае, это хорошее начало; Я позволил пользователю отрегулировать размер TI оттуда. Конечно, вы будете перемасштабировать все ТИ на одну и ту же величину, чтобы их можно было сравнить, и каждый из них будет перемасштабирован вокруг своего собственного центра (который получается по пятой проекции, (фи, лямбда) -> (х, у) ).

Хорошее дополнение к эллиптическому изображению ТИ - показать направления локального меридиана и параллели: тогда вы можете сразу увидеть сходимость сетки . Я также показываю стандартный круг (представляющий отсутствие искажений), концентрический с каждым TI, потому что он улучшает способность читателя измерять количество искажений, представленных каждым эллипсом.

альтернативный текст

В этой проекции Моллвейде следует отметить крайнюю ТИ вблизи южного полюса. Это все еще идеальный эллипс, который точно описывает искажение карты.

Whuber
источник
2
что лучше?
Джордж Сильва
1
Я заметил, что ESRI опубликовал статью о создании индикатрисы тканей с буферами, правильный ли буферный метод, так как индикатриса и буфер «не совпадают»? blogs.esri.com/Support/blogs/mappingcenter/archive/2011/03/28/…
SaultDon
1
@Sault Буферы заменяют правильные TI. В целом они будут работать довольно хорошо, при условии, что они не будут расширяться более чем на несколько градусов, за исключением случаев, когда искажения становятся экстремальными, либо они вообще не будут работать (поскольку буфер разливается по области бесконечного искажения, как показано на это карта ESRI ), или они приводят к неэллиптическим формам. Небольшое изменение сделало бы этот подход намного лучше: вычислите крошечные буферы, такие как 50-метровые буферы, и равномерно увеличьте каждый (на карте) вокруг его центра, чтобы сделать его видимым.
whuber
1
Как вы вычислили ориентацию эллипсов?
Джейсон Дэвис
3
@Jason Индикатриса Tissot - это не что иное, как графическое представление производной проекции, примененной к окружности в касательной плоскости в точке. Самый простой способ нарисовать его - вычислить эту производную (это матрица A 2 на 2 ), параметризовать окружность и применить производную к параметризованным вершинам. Вуаля, у вас есть эллипс. (Именно так были нарисованы эллипсы на моей фигуре.) Его оси можно вычислить как собственные векторы A'A ; это простое вычисление, в котором нет ничего более сложного, чем квадратная формула.
whuber