Вращающийся вектор3 кватернионом

Я пытаюсь повернуть вектор3 на заданный кватернион.

Я знаю что это правда

$$v' = q \cdot v \cdot q^{-1}$$

Я знаю, что является инверсией, которая просто , но как мне отобразить умножение вектора на кватернион, чтобы вернуть вектор?$q^{-1}$$\frac {-q} {magnitude(q)}$

Я обнаружил, что вы можете рассматривать как матрицу и конвертировать и в матрицы, а затем конвертировать из матрицы в вектор, но это кажется слишком сложным, чтобы получить вектор. Есть ли более чистая реализация, которую я мог бы использовать?$v$$q$$q'$$v'$

Как показали Натан Рид и теодрон, рецепт вращения вектора v кватернионом единичной длины q :

1) Создайте чистый кватернион p из v . Это просто означает добавление четвертой координаты 0:

$$p = (v_x, v_y, v_z, 0) \Leftrightarrow p = (v, 0)$$

2) Предварительно умножьте его на q и затем умножьте на сопряженное q * :

$$p' = q \times p \times q*$$

3) Это приведет к еще одному чистому кватерниону, который можно превратить в вектор:

$$v' = (p'_x, p'_y, p'_z)$$

Этот вектор $v'$ является $v$ повернута на $q$ .

---

Это работает, но далеко не оптимально . Умножения кватернионов означают тонны и тонны операций. Мне было любопытно узнать о различных реализациях, таких как эта , и я решил выяснить, откуда они пришли. Вот мои выводы.

Мы также можем описать q как комбинацию трехмерного вектора u и скаляра s :

$$q = (u_x, u_y, u_z, s) \Leftrightarrow q = (u, s)$$

По правилам умножения кватернионов , а так как сопряженность кватерниона единичной длины просто обратна, мы получаем:

$$\begin{align} p' &= qpq* \\ &= (u, s)(v,0)(-u, s) \\ &= (sv + u \times v, -u \cdot v)(-u, s) \\ &= ((-u \cdot v)(-u) + s(sv + u \times\ v) + (sv + u \times v) \times (-u), \dots) \\ &= ((u \cdot v) u + s^2v + s(u \times v) + sv \times (-u) + (u \times v) \times (-u), \dots) \end{align}$$

Скалярная часть (эллипсы) приводит к нулю, как подробно описано здесь . Что интересно, векторная часть, AKA наш повернутый вектор v ' . Это можно упростить, используя некоторые основные векторные тождества :

$$\begin{align} v' &= (u \cdot v)u + s^2v + s(u \times v) + s(u \times v) + u \times (u \times v) \\ &= (u \cdot v)u + s^2v + 2s(u \times v) + (u \cdot v)u - (u \cdot u)v \\ &= 2(u \cdot v)u + (s^2 - u \cdot u)v + 2s(u \times v) \end{align}$$

Это теперь намного более оптимально ; две точки, перекрестный продукт и несколько дополнительных функций: около половины операций. Что даст что-то подобное в исходном коде (при условии некоторой универсальной библиотеки векторной математики)

void rotate_vector_by_quaternion(const Vector3& v, const Quaternion& q, Vector3& vprime)
{
    // Extract the vector part of the quaternion
    Vector3 u(q.x, q.y, q.z);

    // Extract the scalar part of the quaternion
    float s = q.w;

    // Do the math
    vprime = 2.0f * dot(u, v) * u
          + (s*s - dot(u, u)) * v
          + 2.0f * s * cross(u, v);
}

Прежде всего, q ^ (- 1) не равно -q / величина (q); это q * / (величина (q)) ^ 2 (q * является сопряженным; оно отрицает все компоненты, кроме действительного). Конечно, вы можете исключить деление на величину, если все ваши кватернионы уже нормализованы, как это обычно бывает в системе вращения.

Что касается умножения на вектор, вы просто расширяете вектор до кватерниона, устанавливая реальный компонент квата в ноль, а его компоненты ijk равны xyz вектора. Затем вы делаете умножения кватернионов, чтобы получить v ', а затем снова извлекаете компоненты ijk. (Действительная часть v 'всегда должна выходить за ноль, плюс или минус некоторая ошибка с плавающей точкой.)

Первое наблюдение: обратное qнет -q/magnitude(q), это совершенно неправильно. Вращения с кватернионами подразумевают, что эти эквиваленты 4D комплексных чисел имеют унитарную норму, следовательно, лежат на единичной сфере S3 в этом 4D пространстве. Тот факт, что кват является унитарным, означает, что его норма равна, norm(q)^2=q*conjugate(q)=1и это означает, что обратное значение квата является его сопряженным.

Если единичный кватернион записывается как q=(w,x,y,z)= (cos (t), sin (t) v ), то его сопряженность равна conjugate(q)=(w,-x,-y,-z)= (cos (t), - sin (t) v ), где t - половина угла поворота, а v ось вращения (как единичный вектор, конечно).

Когда тот чувак Гамильтона решил поиграть с эквивалентами комплексных чисел в более высоких измерениях, он также наткнулся на некоторые хорошие свойства. Например, если вы используете полностью чистый кватернион q=(0,x,y,z)(без скалярной части w !), Вы можете считать это дерьмо вектором (на самом деле это кват на то, что люди могут назвать экватором сферы S3, которая является сферой S2! ! - умопомрачительные вещи, если учесть, насколько технически слабые люди в 19 веке кажутся нам ковбоями EyePhone в наше время). Таким образом, Гамильтон взял этот вектор в форме квата v=(0,x,y,z)и провел серию экспериментов с учетом геометрических свойств кватов. Короче говоря:

INPUT: _v=(x,y,z)_ a random 3D vector to rotate about an __u__ unit axis by an angle of _theta_

OUTPUT: q*(0,_v_)*conjugate(q)

где

 q = (cos(theta/2), sin(theta/2)*u)
 conjugate(q) = inverse(q) = (cos(theta/2), -sin(theta/2)*u)
 norm(q)=magnitude(q)=|q|=1

Замечание: q * (0, v) * con (q) должен быть другим кватом вида (0, v '). Я не буду проходить через все это, по-видимому, сложное объяснение того, почему это происходит, но если вы поворачиваете чистый воображаемый кватернион (или вектор в нашем случае!) С помощью этого метода, вы должны получить объект подобного типа: чистый воображаемый кват. и вы принимаете его мнимую роль в качестве результата. Вот вам и чудесный мир вращений с кватернионами в ореховой скорлупе.

ПРИМЕЧАНИЕ : для тех, кто присоединяется к этой чрезмерно употребленной фразе: четверки хороши, потому что они избегают их блокировки карданного подвеса ... должны сначала открыть свое воображение !! Кваты - это просто «изящный» математический аппарат, и его можно полностью избежать, используя другие подходы, один из которых я считаю совершенно геометрически эквивалентным подходу угла оси.

КОД : библиотека C ++, которая мне нравится , довольно проста, но в ней есть все операции с матрицами, векторами и кватами, которые могут понадобиться экспериментатору по трехмерной графике, не тратя больше 15 минут на ее изучение. Вы можете протестировать то, что я написал здесь, используя это через 15 минут, если вы не новичок в C ++. Удачи!

Вот альтернативный способ преобразования вектора кватернионом. Так MS делает это в рамках xna. http://pastebin.com/fAFp6NnN

Я попытался решить это вручную и придумал следующее уравнение / метод:

// inside quaterion class
// quaternion defined as (r, i, j, k)
Vector3 rotateVector(const Vector3 & _V)const{
    Vector3 vec();   // any constructor will do
    vec.x = 2*(r*_V.z*j + i*_V.z*k - r*_V.y*k + i*_V.y*j) + _V.x*(r*r + i*i - j*j - k*k);
    vec.y = 2*(r*_V.x*k + i*_V.x*j - r*_V.z*i + j*_V.z*k) + _V.y*(r*r - i*i + j*j - k*k);
    vec.z = 2*(r*_V.y*i - r*_V.x*j + i*_V.x*k + j*_V.y*k) + _V.z*(r*r - i*i - j*j + k*k);
    return vec;
}

Я был бы признателен, если бы кто-то посмотрел на производную от mt, которую я использовал http://pastebin.com/8QHQqGbv. Я бы предложил скопировать в текстовый редактор, поддерживающий боковую прокрутку.

в моей записи я использовал q ^ (- 1) для обозначения сопряженных, а не обратных, и разных идентификаторов, но я надеюсь, что он является следуемым. Я думаю, что большинство прав, особенно в тех случаях, когда при доказательстве исчезнет реальная часть вектора.