Похоже, вы хотите поддерживать постоянную скорость объекта на протяжении всей кривой - знание длины дуги не поможет вам в этом. Это поможет вам рассчитать, в какое время объект достигнет своей конечной точки, если бы он двигался с этой скоростью, так что это будет лучше, чем у вас сейчас (объект будет иметь одинаковую среднюю скорость между всеми точками), но Фактическая скорость объекта будет по-прежнему изменяться при движении по кривой.
Лучшим решением было бы изменить наш параметрический параметр (параметр, который идет от 0 до 1, который я буду называть, sчтобы избежать путаницы t = time) с переменной скоростью ds/dt, которая определяется скоростью, с которой вы хотите, чтобы объект двигался эта точка на кривой. Другими словами, вместо изменения sна 0,01 каждый кадр, мы можем изменить его на 0,005 один кадр, 0,02 следующий и т. Д.
Мы делаем это, вычисляя производные x( dx/ds) и y( dy/ds) каждого кадра, затем устанавливая
ds / dt = скорость / sqrt ((dx / ds) 2 + (dy / ds) 2 )
То есть, взяв скорость, которую мы хотим достичь, и разделив ее на скорость, которую мы фактически достигли бы, если бы мы изменялись sс фиксированным шагом.
доказательство
Мы хотим, чтобы скорость нашего объекта была постоянной; давайте дадим этой константе имя speed.
Мы учимся в второй год исчисления , что для параметрических уравнений x(s)и y(s),
скорость = sqrt ((dx / dt) 2 + (dy / dt) 2 )
Мы также узнаем, что
dx / dt = dx / ds * ds / dt (правило цепочки)
Таким образом,
скорость = sqrt ((дх / дс) 2 (дс / дт) 2 + (дд / дс) 2 (дс / дт) 2 )
Решая для ds/dt, мы получаем заявленное уравнение.
Расчет производных
Я никогда не работал с этими конкретными сплайнами, но я понимаю, что они просто дают x(s)и y(s)в терминах кубических уравнений s. Таким образом, мы можем dx/dsлегко найти производную : если
x (s) = a * s 3 + b * s 2 + c * s + e
тогда
дх / дс = 3a * s 2 + 2b * s + c
( То же самое для dy/ds) Конечно, вам нужно знать точные значения a, bи cсделать это. Согласно этой странице , эти значения легко найти.
Наконец, чтобы ответить на вопрос в заголовке: для нахождения уравнения длины дуги параметрической функции необходимо решить довольно сложный определенный интеграл ; даже для простого случая кубического уравнения это вообще невозможно сделать.
Таким образом, вам придется оценивать интеграл численно . «Разрезание сплайна на 10 прямых и суммирование их длин», как вы предлагаете, - один из очень простых способов сделать это ; однако есть немного более сложные методы , которые дадут вам гораздо более точные результаты, используя меньше отрезков.
