Почему прогиб колонны происходит, когда нагрузка параллельна колонне?

11

Я изучаю работу Эйлера по структурной инженерии из книги из любопытства, и упоминается, что он разработал математическую теорию, описывающую изгиб колонн при параллельной нагрузке (сила тяжести груза направлена ​​вниз вдоль колонны). Теория покрыта быстро без особой мотивации.

Но это заставило меня задуматься; почему колонка "прогибается" в первую очередь? Если нагрузка прижимает колонку вниз, почему колонна даже начинает отклоняться вбок? Я знаю, что это происходит в реальной жизни, поскольку этот факт легко подтверждается бытовыми предметами, но теоретически, почему объекты начинают отклоняться вбок, а не просто сжимаются под нагрузкой? Это может быть что-то очевидное, и, может быть, я просто слишком обдумываю, но, тем не менее, мне кажется это любопытным

С. Ротос
источник
+1 за отличный вопрос.
Марк
Изгиб Эйлера - это в основном историческое любопытство. Он часто используется для ознакомления студентов с дифференциальными уравнениями, поскольку это была одна из мотивирующих проблем, которая привела к упорядоченному изучению ОДУ. Это остается частью инженерного канона по неизвестным причинам. Это редко является ограничивающим фактором в реальных конструкциях, но он действительно возникает, когда остаются некоторые конструкции, такие как мачты парусников. Но если у вас есть практический интерес к созданию объектов, вам необходимо гораздо более полное понимание режимов отказов и их анализа.
Фил Сладкий
Посмотрите, является ли это объяснение более полезным. MIT The Column and Buckling
Фил Свит
«Теория покрыта быстро без особой мотивации». В точку. Он так давно укоренился, что никто даже не думает об этом. Это лучшая часть всего этого вопроса.
Фил Сладкий
@J ... И Эйлер Баклинг не является примером. Но попса - это классическая проблема реального мира. НАСА
Фил Сладкий

Ответы:

12

Прогиб Эйлера происходит потому, что мир не идеален. Таким образом, эта теория предполагает, что существует начальное бесконечно малое отклонение вдоль столбца (при условии, что столбец фактически не совсем вертикальный *). Это отклонение вызывает изгибающий момент вдоль балки, который увеличивает отклонение, что увеличивает изгибающий момент, который увеличивает отклонение ...

Для нагрузок ниже, чем нагрузка Эйлера, этот порочный цикл в конечном итоге стабилизируется, и балка не прогибается. Для нагрузки Эйлера и выше цикл никогда не стабилизируется, и отклонение становится бесконечным.

Очевидно, что в реальном мире есть начальные отклонения и другие проблемы, которые намного выше, чем «бесконечно малые». Таким образом, в реальном мире колонны прогибаются с нагрузками, намного меньшими, чем теоретическая нагрузка Эйлера.

* Это предположение об изгибе Эйлера, но другое возможное отклонение состоит в том, что нагрузка фактически не идеально центрирована на колонне. В реальном мире оба случая, вероятно, происходят одновременно

Васаби
источник
3

Подумайте о «тонкой» балке, например о полосе пружинящей стали. Очень легко согнуть полосу в кривую по сравнению с растяжением или сжатием ее по всей длине.

Когда она изогнута в кривую, длина полосы, измеренной вокруг кривой, существенно не изменяется, и это означает, что расстояние по прямой между двумя концами становится меньше.

Если вы попробуете это экспериментально с чем-то, что вы можете легко согнуть руками, вы обнаружите, что график зависимости силы от расстояния между двумя концами не является прямой линией - эффективная жесткость уменьшается по мере увеличения нагрузки и изгиба балки.

ЕA/L

Поскольку в реальном мире невозможно сделать идеально прямую балку, она изгибается, когда конечная нагрузка достигает точки, когда жесткость при «изгибе в сторону» становится меньше, чем жесткость при «идеальном сжатии».

Формула Эйлера дает довольно хорошее приближение к этой нагрузке, хотя она делает еще несколько предположений (например, о форме луча, когда он изгибается вбок), которые не совсем точны. Но так как допуски в геометрии балки также неизвестны, формула Эйлера достаточно хороша, чтобы быть полезной на практике, даже если она обычно переоценивает фактическую нагрузку потери устойчивости в несколько раз (скажем, между 2 и 5 раз) по сравнению с реальной жизнью.

Поскольку балка становится более гибкой после того, как она изгибается, если вы прикладываете постоянную конечную нагрузку (например, вес чего-то, нажимающего на конец колонны), изгиб приводит к катастрофическому разрушению, поскольку балка изгибается все больше и больше, пока не сломается. С другой стороны, если вы примените контролируемое смещение к концу, процесс будет обратимым, и когда нагрузка будет снята, балка вернется к своей (номинально) прямой форме, без постоянного повреждения.

alephzero
источник
Как вы можете сказать, что формула Эйлера достаточно хороша для реальной практики, если вы также говорите, что фактическая нагрузка может составлять 1/5 от расчетного значения? Или вы имеете в виду, что метод может быть немного изменен (добавив «коэффициент масштабирования» или что-то в этом роде), чтобы его можно было использовать на практике? Это то, что делает бразильский код: он рассчитывает нагрузку Эйлера, а затем применяет несколько факторов снижения (не стандартных коэффициентов безопасности), чтобы привести его к лучшему приближению к реальному миру.
Васаби
Фактически, именно так работают клавиатуры с пружинным изгибом - если вы предполагаете, что любой стержень слегка сжимается, он фактически становится пружиной изгибания!
KlaymenDK
1

Не все колонны разрушаются при сжатии из-за потери устойчивости. В стальных колоннах короче, чем 50, они разрушаются при прямом сжатии.

Это основа бифуркации устойчивости, и она проявляется не только в колоннах, но и в режиме разрушения многих других форм, таких как балки, фермы, сосуды, и схема потери устойчивости может быть довольно сложной. Например, если вы отрежете крышку и дно банки кокса и поместите ее под микроуправляющий пресс, она будет прогибаться вдоль ромбовидного узора на своей стене, скручиваясь вокруг вертикальной оси.

В колоннах это происходит из-за упругого поведения материала, приводящего к раздвоению, будь то сталь или алюминий, дерево и т. Д.

Это происходит не из-за остаточного несовершенства при изготовлении колонны, ни из-за нагрузки, не приложенной в идеальном центре, хотя эти условия будут влиять на реакцию колонны, но это относится к другой теме.

σзнак равноп/A
Камран
источник
0

Если нагрузка приложена через центральную линию колонны, то боковое усилие отсутствует, но если нагрузка смещена, но параллельна, существует боковое усилие, которое приводит к изгибу.

Солнечный Майк
источник
Никакая боковая сила не требуется, если луч не является совершенно прямым и равномерным (и, конечно, ни один настоящий луч не является геометрически совершенным).
Алефзеро
@alephzero, но формула Эйлера предполагает идеальный луч ...
Солнечный Майк