Какова физическая интерпретация собственных значений матрицы жесткости в методе конечных элементов?

Для заданного уравнения движения незатухающей системы , обозначает матрицу масс, матрицу жесткости, смещение, зависящее от времени, и приложенная сила. Корни, , уравнения указывают частоты колебаний.$\mathbf{M}\mathbf{\ddot{q}} + \mathbf{K}\mathbf{q} = \mathbf{f}$K q f ω 2 d e t ( K - ω 2 M ) = $\mathbf{M}$$\mathbf{K}$$\mathbf{q}$$\mathbf{f}$$\omega^2$$det(\mathbf{K} - \omega^2\mathbf{M}) = 0$

Мой вопрос: какова физическая интерпретация собственных значений матрицы жесткости ?$\mathbf{K}$

Предположим, 1-й вариант уравнения. Тогда матрица K становится k , пружинной постоянной.

В 1-D уравнение сводится к:$m \ddot{q} + kq = f$

Матрица q также становится вектором x в одном измерении. Это дифференциальное уравнение для системы с принудительной массой-пружиной. (@Jmac добавил 1-е уравнение)

Точно так же физический смысл собственных значений матрицы состоит в том, насколько жесткой является система в соответствующем направлении собственного вектора. И как таковой, это определяет, насколько упругое положение / движение сила вызывает в системе.

Наиболее интересными собственными значениями / векторами K являются нулевые собственные значения. Они соответствуют движениям твердого тела конструкции. Эти собственные векторы могут быть полезной проверкой для структур, которые содержат движущиеся соединения и т. Д., Где число движений твердого тела не должно быть равно 6. Они также могут показывать проблемы с моделью FE, например, режимы «песочных часов», вызванные неправильным выбором элементов. (Спасибо @alephzero за этот параграф)

$\mathbf{K}$

$\ell$$\delta$$\theta$$\mathbf{f} = \mathbf{K} \mathbf{x}$

$[1\;0]$$[0\;1]$