Метод расчета давления разрушения в цилиндрическом контейнере

Существует ли формула или метод для расчета давления разрушения цилиндрического контейнера с известным материалом, толщиной и размером?

В этом ответе я намерен расширить обсуждение и на цилиндры с более толстыми стенками. Если вы хотите пропустить математику, давление суммируется внизу.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ УСЛОВИЯ:

$\sigma_{rr}$ - радиальная составляющая напряжения

$\sigma_{\theta\theta}$ - окружная составляющая напряжения

$\sigma_{zz}$ - осевая составляющая напряжения

В этом ответе я буду предполагать, что отказ происходит в изогнутых стенках цилиндра. Можно рассматривать разные способы отказа, но это выходит за рамки моего ответа. По моей интуиции, изогнутые стены - это слабые места неудач, но я оставлю обсуждение этого более квалифицированным ответам.

ПЕРВЫЙ УРОЖАЙ

Когда дело доходит до определения отказа цилиндров с толстыми стенками (определение отказа при возникновении, когда выход экземпляра происходит в любом месте в цилиндре), уравнения Ламе полезны. Эти уравнения дают напряжения, которые лежат в плоскости круглого сечения цилиндра:

Обратите внимание, что ось вращательной симметрии выходит за пределы страницы, перпендикулярно к сечению

Уравнения Ламе выводятся из главного уравнения равновесия для осесимметричного твердого тела:

$$\frac{\partial}{\partial r} \left( r \sigma_{rr}\right) = \sigma_{\theta\theta}$$

Где - расстояние от точки, где рассматриваются напряжения, от оси симметрии вращения.$r$

Сами уравнения Ламе имеют вид:

σθθ=A+

$$\sigma_{rr} = A - \frac{B}{r^2}$$ $$\sigma_{\theta\theta} = A + \frac{B}{r^2}$$

Где и B - произвольные постоянные.$A$$B$

Для цилиндра с внутренним давлением , без внешнего давления, с внутренним радиусом a и толщиной t эти уравнения становятся следующими:$p$$a$$t$

$$\sigma_{rr} = \frac{p}{m^2-1}\left(1-\frac{m^2a^2}{r^2}\right)$$ $$\sigma_{\theta\theta} = \frac{p}{m^2-1}\left(1+\frac{m^2a^2}{r^2}\right)$$

$m=1 + \frac{t}{a}$$t$$m$

Чтобы определить конечную составляющую напряжения, разумно предположить, что вдали от краев цилиндра осевое напряжение является постоянным в стенках. Это напряжение будет противодействовать давлению, действующему на концы цилиндра:

$$\sigma_{zz} = \frac{p}{m^2-1}$$

$r$

При трех известных составляющих напряжения следует использовать подходящий критерий доходности . Обычно Треска или фон Мизес подходят для металлов, таких как сталь. Здесь я предполагаю, что Tresca заявляет, что урожай сначала происходит в точке на цилиндре всякий раз, когда выполняется следующее:

$$\max\left(|\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}|,|\sigma_{rr}-\sigma_{zz}|, |\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{zz}|\right)=\sigma_y$$

Где - предел текучести материала.$\sigma_y$

Посмотрев на график, можно увидеть, что выход будет происходить внутри цилиндра, так что при выходе:

$$|\sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta}| = \frac{2m^2}{m^2-1} p=\sigma_y$$

Следовательно, сбой по первому доходу происходит, когда:

$$p=\frac{m^2-1}{2m^2}\sigma_y$$

Максимальное давление перед первым выходом увеличивается с толщиной до максимума при бесконечной толщине.$\frac{\sigma_y}{2}$

КРАХ

Даже когда впервые появляется урожай, стенки цилиндра не лопнут, то есть коллапс еще не наступил. Точка, в которой происходит коллапс, должна наступить после первого выхода: можно ли ожидать, что лопнет бесконечно толстый цилиндр? Давление сжатия полезно определить, поскольку именно в этот момент цилиндр не может удерживать свое содержимое под давлением.

Когда происходит первый выход, в цилиндре все еще есть области, которые еще должны дать, и поэтому внутренние органы сохраняются. Когда вы увеличиваете давление выше, чем у первого выхода, вы получаете пластиковую область текучего материала, которая образуется на внутренней поверхности цилиндра и ползет вдоль толщины цилиндра к внешней поверхности:

Обрушение происходит, как только пластиковая зона достигает внешней поверхности цилиндра. Проблема при расчете этой нагрузки заключается в том, что упругость больше не применяется: уравнения Ламе, которые действительны только для линейных упругих цилиндров, не будут действительными. Тем не менее, управляющее уравнение равновесия все еще применяется: равновесие должно соблюдаться независимо от того, является ли материальный закон линейным или нет. Поскольку пластическая зона распространилась на все поперечное сечение, мы меньше предполагаем, что напряжения соответствуют критерию Трески по всему цилиндру (это предположение справедливо в соответствии с теоремой о нижней границе, которая возвращает оценку давления схлопывания, которое должно быть меньше, чем фактическое давление развала, дающее консервативную оценку):

$$\sigma_{\theta\theta} - \sigma_{rr} = \sigma_y$$

Теперь мы можем подставить это в уравнение равновесия, чтобы дать:

$$r \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} = \sigma_y$$

Решение этого и применение граничных условий дает давление сжатия:

$$p = \ln{(m)} \sigma_y$$

Интересно, что при всех положительных , больше или равна , поэтому первый выход всегда должен произойти до распада. Только когда приближается к 1 (тонкостенная), давления для первого выхода и сближения становятся равными.$m$$\ln (m)$$\frac{m^2-1}{2m^2}$$m$

В ИТОГЕ

Для отказа по первому выходу давление должно быть:

$$p=\frac{m^2-1}{2m^2}\sigma_y$$

Для разрушения при разрушении давление должно быть:

$$p=\ln{(m)} \sigma_y$$

Где - отношение внешних радиусов к внутренним.$m$

Вот примерный сюжет для обоих:

При увеличении предел первой доходности увеличивается до максимума , а предел коллапса увеличивается до бесконечности. Чтобы предел коллапса был вдвое больше, чем предел первого выхода, должно быть около 2,2.$m$$\frac{\sigma_y}{2}$$m$

Существует простая формула для расчета напряжения в тонкостенных цилиндрических сосудах под давлением. В направлении по окружности формула имеет вид:

$$\sigma_c=\frac{pr}{t}$$

и в продольном направлении (по длине цилиндра):

$$\sigma_x=\frac{pr}{2t}$$

где:

$p =$ давление внутри цилиндра,

$r =$

$t =$$(r/t \geq 10)$

С помощью этой формулы очень просто рассчитать, при каком давлении судно выйдет из строя, исходя из его свойств материала и того фактора безопасности, который вам нравится.

$\sigma_c$$\sigma_x$

Источник: « Механика материалов», девятое издание Р. Хиббелера.

$p\cdot 2r = \text{lateral force}$

$$pr = \sigma t$$ $$\frac{p\pi r^2}{2rt}= \frac{p\pi r}{2}$$

Однако мы должны рассчитывать на изгиб из-за более высокого внешнего давления.

$l>4r$

При наличии навесного оборудования или ребер жесткости необходимо смоделировать изгиб с учетом общей геометрии. Мы видели, как в морозильнике оставляли один-много скрученных замороженных банок кокса.