Математическое доказательство того, что среднеквадратичное напряжение, умноженное на среднеквадратичное значение тока, дает среднюю мощность

Я знаю, что это правда, потому что я прочитал это из авторитетного источника. Я также интуитивно понимаю, что мощность пропорциональна квадрату напряжения или тока для резистивной нагрузки, и что «S» в RMS означает «квадрат». Я ищу серьезное математическое доказательство.

Пусть обозначает ток в момент , а также обозначает напряжение в этот момент. Если мы можем измерить напряжение и ток во все моменты времени, а есть моментов, тогда средняя кажущаяся мощность равна:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Что является элегантным математическим доказательством того, что

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

достигает того же результата для резистивных нагрузок?

Закон Ома

$$1: V(t) = I(t)R$$

Мгновенное рассеяние мощности является произведением напряжения и тока

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Замените 1 на 2, чтобы получить мгновенную мощность через резистор в терминах напряжения или тока:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

Средняя мощность определенно представляет собой интеграл мгновенной мощности за период, деленный на этот период. Замените 3 на это, чтобы получить среднюю мощность в терминах напряжения и тока.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Определение действующего значения тока

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Квадрат с обеих сторон $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ Умножьте на R, чтобы найти уравнение 4 для средней мощности $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ Определение среднеквадратичного напряжения $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Квадрат с обеих сторон $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ Разделите на R, чтобы найти уравнение 4 для средней мощности $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ Умножьте выражения 7 и 10 для средней мощности $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ Квадратный корень с обеих сторон $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

Очень простое доказательство (в случае дискретной выборки в вопросе) заключается в замене E / R на I в уравнении RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

и очень простая алгебра.

И да, это правда, потому что указано, что у нас чисто резистивная нагрузка, поэтому нет проблемы фазового угла и нет гармоники, присутствующей в I, которая также отсутствует в E.

РЕДАКТИРОВАТЬ

определение RMS для дискретных точек (из Википедии):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

and by Ohm’s Law

$$I_i = V_i/R$$ substitution:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

then:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Pulling out the 1/R^2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

so:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ is:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distributing the 1/R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Using Ohm’s Law substitution again:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

which is:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

The key is that for a resistive load, the voltage and current are in phase.

If the voltage and current are both $\sin(t)$, then then their product is given by the equality $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$. The power is a sine wave of twice the frequency, which oscillates about $1/2$. This is its average over time (the "mean" of the "square"). The root of the mean square is $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$. That's where we get that magic number.

The root mean square voltage or current are the DC equivalent voltage and current that will produce the same power dissipation over time. If the average power dissipation is $1/2$ W, then such a power dissipation can be steadily produced by $\sqrt{2}/2$ VDC multiplied by $\sqrt{2}/2$ A DC.

If current and voltage are out of phase 90 degrees (pure reactive load), then we can think of one as being $\cos(t)$ and the other being $\sin(t)$. The applicable equality is then $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$. The power waveform is no longer "biased" to oscillate around $1/2$; its average is zero: power flows into and out of the load on alternate half cycles, as the power waveform swings positive and negative.

So to answer the question, the RMS voltage and current are defined based on the mean power: each one is derived from the square root of the mean power. Multiplying two values together that are obtained from the square root of the mean power, recovers mean power.

Lets simplify more this issue without math. Take this simple circuit that is produce a square waveform with a period of 10 sec.

The voltage is like this

and current is

Then the power waveform will be

Когда переключатель разомкнут, на резистор не подается питание, поэтому общая энергия составляет 10 Вт x 5 секунд = 50 Дж, и это то же самое, что мы применяем 5 Вт за 10 секунд.

и это средняя мощность. Среднее напряжение составляет 5 вольт, а средний ток 0,5 ампер. При простом расчете средняя мощность составляет 2,5 Вт или 25 Дж, что не соответствует действительности.

Итак, давайте сделаем этот трюк с этим заказом:

1. Первый квадрат напряжения (и тока)

2. Второе возьмите среднее значение квадрата

3. Затем возьмите квадратный корень из среднего

Квадрат формы волны напряжения будет

И в среднем 50 В ^ 2 (не 50 ^ 2 вольт). С этого момента забудьте о форме волны. Только ценности. Квадратный корень из вышеуказанного значения составляет 7071… вольт RMS. При поступлении того же тока будет найдено 0,7071..А RMS, а средняя мощность составит 7,071В х 0,7071А = 5 Вт

Если вы попытаетесь сделать то же самое со среднеквадратичной мощностью, результат будет бессмысленным 7 071 Вт.

Таким образом, единственная эквивалентная мощность нагрева - это средняя мощность, и единственный способ рассчитать это использовать среднеквадратичные значения напряжения и тока.