Математическое моделирование RC цепи с линейным входом

Я нашел множество документов и книг, которые моделируют, как напряжение на конденсаторе ведет себя в переходной RC-цепи, используя следующее уравнение:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

К сожалению, я не нашел ни одного ресурса, в котором обсуждается, как математически смоделировать RC-цепь, в которой можно было бы использовать линейно увеличивающийся источник напряжения в качестве входа.

Попытка заменить VMAX в приведенном выше уравнении линейным уравнением приводит к уравнению, сходящемуся к линейному уравнению, означающему, что через некоторое время ток исчезнет (I = (VS-VC) / R). Это, очевидно, не соответствует действительности, так как мы должны видеть, что ток приближается к постоянному значению во времени, как указано в:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Я полностью осознаю, как напряжение на конденсаторе будет вести себя с линейно увеличивающимся источником напряжения, есть много симуляторов, которые отображают это, и я даже могу придумать физическое объяснение результатов. Я хочу знать, как можно математически смоделировать напряжение на конденсаторе с линейно увеличивающимся источником напряжения, аналогично уравнению, которое моделирует напряжение на конденсаторе в переходных процессах.

К сожалению, я не нашел ни одного ресурса, в котором обсуждается, как математически смоделировать RC-цепь, в которой можно было бы использовать линейно увеличивающийся источник напряжения в качестве входа.

Этот ответ полностью о преобразовании схемы в передаточную функцию в частотной области с последующим умножением этого TF на преобразование Лапласа на входе, чтобы получить частотную область, эквивалентную выходу. Наконец, выполняется обратная операция Лапласа для получения формулы временной области для вывода.

Преобразование Лапласа низкочастотного RC-фильтра:

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Это передаточная функция в частотной области, поэтому, если вы умножите ее на эквивалентную для линейного изменения частотную область ($\dfrac{1}{s^2}$) вы получите выход в частотной области:

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

При использовании обратной таблицы переноса по методу Лапласа во временной области выводится:

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

См. Пункт 32 в таблице, или, если в формуле не было очевидной записи в таблице, вы можете использовать калькулятор обратного лапласа, который решает его численно, как этот .

Калькулятор позволяет построить формулу и ввести числовое значение для RC. Я использовал значение RC 7 в приведенном выше примере, чтобы видеть, как это число распространяется на окончательный ответ. Последнее препятствие заменяет это распространенное значение 7 на RC. Другими словами, это числовое решение, но, тем не менее, очень полезный инструмент:

Для общего входного сигнала и системы первого порядка вы можете решить дифференциальное уравнение через интегрирующий коэффициент, $\small (IF)$, метод * или преобразование Лапласа, среди других. Приведенный ниже анализ использует$\small IF$ метод.

$^*$См. Редактирование ниже для объяснения метода интегрирующего фактора .

Учитывая схему, которую вы описываете, уравнение цикла:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Дифференцируя:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Перегруппировка:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Отмечая что $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

В вашем конкретном случае, $v_i$ является пандусом, таким образом: $v_i= \small Kt$, где $\small K$ это наклон рампы.

следовательно $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$и уравнение, которое должно быть решено $\small IF$ метод это:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

$\small IF$ является:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Следовательно:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Предполагая, что начальные условия равны нулю, $\small A=-KC$отсюда:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

а также

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

Изменить: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка с помощью интегрирующего множителя ($\small IF$) метод:

Для ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$, где $\small P$ а также $\small Q$ являются функциями $\small t$ (которые могут быть постоянными), мы следуем шагам:

1. Определить интегрирующий фактор: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. Общее решение тогда найдено, решая: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, где $\small A$ произвольная постоянная.

3. определить $\small A$ из начального условия или граничного условия, если известно.

Например, ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, с $\small y(0)=5$

Решение: мы определяем $\small P=2,\:Q=3$

Следовательно

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

следовательно

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Разделить на $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Применяя начальное условие:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; следовательно$\small A=3.5$

Предоставление: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

Можно также добавить другой подход, основанный на рекомендации Чу:

Стандартная форма для линейного дифференциального уравнения первого порядка:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

Если вы можете настроить такие вещи, то ваш интегрирующий фактор (который является отличным способом решения этих проблем):

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Тогда тогда решение:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Предположим следующую схему:

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Тогда из нодального вы получите:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Который в стандартной форме, сейчас.

Так, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ а также $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$, Таким образом, интегрирующим фактором является:$\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ а также:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

Вы должны быть в состоянии легко выполнить вышеизложенное, учитывая достаточно простой $V_s\left(t\right)$, (Не забывайте свою постоянную интеграцию.)

то, что вы написали как Vmax, может быть изменено для вашего напряжения, которое меняется со временем, если оно не слишком много быстрее, чем постоянная времени конденсатора, оно должно дать вам достойную модель.

Если вам нужен более точный ответ, вы можете преобразовать входное напряжение Фурье / Лапласа и рассчитать реактивное сопротивление для конденсатора на каждой частоте, которую вы получаете, решить каждую и сложить их вместе, чтобы получить окончательное напряжение.

Второй вариант, который дает гораздо более точное решение, гораздо сложнее, чем первое, что я предложил, и которое может дать точное решение, только если напряжение возрастает гораздо медленнее, чем зарядка конденсатора.

изменить: как некоторые из упомянутых комментариев также возможно решить дифференциальное уравнение для рампы вместо шага.