Является ли книга ошибочной в отношении критерия выборки Найквиста?

16

Является ли следующее утверждение из книги неправильным?

введите описание изображения здесь

Я думал, что выборка с двойной компонентой наивысшей частоты сигнала будет достаточной для полного восстановления сигнала. Но выше это говорит, что выборка дважды создает пилообразную волну. Книга не так?

atmnt
источник
14
Чтобы полностью восстановить сигнал, это ключевая фраза. Найквист не говорит, что вы можете соединить выборки прямой линией и получить исходный сигнал, но информация, необходимая для восстановления сигнала, есть. Так что книга верна в том, как выглядит сигнал, когда вы соединяете точки, а Найквист прав в том, что вы можете восстановить из образцов.
Джон Д
12
Технически, частота дискретизации ровно в 2 раза выше, чем на входе, не позволяет реконструировать исходный сигнал, если только вы не знаете, что вы производите выборку на пиках / впадинах. Немного быстрее нужно в теории (и значительно быстрее на практике).
Джастин
7
Найквист особо упоминает, что сигнал ограничен полосой. Часто упоминается полоса, ограничивающая вход, но полоса, ограничивающая выход, не часто упоминается. Если вы ограничите диапазон треугольной волны исходным сигналом, вы получите синусоидальную волну.
vini_i
7
Если вы посчитаете маленькие точки, обозначающие выборку, частота выборки будет отключена в два раза на каждой из этих диаграмм - выборка будет в 2x, 4x и 8x, соответственно.
Тим Уэскотт
4
@ sidA30 Правильная процедура состоит в том, чтобы подождать, пока у вас будет время написать ответ, а не просто нарушить политику по вашему усмотрению.
труба

Ответы:

16

Я думал, что выборка с двойной компонентой наивысшей частоты сигнала будет достаточной для полного восстановления сигнала. Но выше это говорит, что выборка дважды создает пилообразную волну. Книга не так?

Книга неверна, но не по той причине, о которой вы думаете. Если вы щуритесь на точках, обозначающих образцы, это означает, что выборка выполняется с удвоенной частотой.

Итак, во-первых, вы должны нарисовать некоторые сигналы и сэмплировать их самостоятельно (или использовать математический пакет, если вы не до карандаша и бумаги).

Во-вторых, теорема Найквиста говорит, что теоретически возможно восстановить сигнал, если вы уже знаете, что спектр содержимого сигнала строго меньше, чем 1/2 частоты дискретизации.

Вы восстанавливаете сигнал путем фильтрации нижних частот. Перед фильтрацией сигнал может быть искажен, поэтому вы должны знать, на что вы смотрите, чтобы увидеть, что результат может выглядеть хорошо. Кроме того, чем ближе спектр содержимого вашего сигнала к пределу Найквиста, тем острее должно быть обрезание в ваших фильтрах сглаживания и восстановления. Это хорошо в теории, но на практике отклик фильтра во временной области становится длиннее примерно пропорционально тому, насколько резко он переходит от своей полосы пропускания к полосе задержания. В общем, если вы можете, вы пробуете намного выше Найквиста.

Вот картинка, которая соответствует тому, что должна была сказать ваша книга.

Случай A: один образец за цикл (образцы сделаны очевидными)

Случай B: две выборки за цикл, посадка на перекрестках - обратите внимание, что это один и тот же результат что и одна выборка на случай цикла, но только потому, что я сделал выборку первой выборки на пересечениях.

Случай C: Опять две выборки за цикл, но на этот раз в крайних случаях. Если образец в точности удвоенной частоте составляющей сигнала, то вы не можете восстановить. Теоретически, вы можете сделать выборку чуть ниже, но вам понадобится фильтр с импульсным откликом, который охватывает достаточно результатов, чтобы вы могли восстановить.

Случай D: выборка в 4 раза больше частоты сигнала. Если вы соединяете точки, вы получаете треугольную волну, но это не правильно - во время выборки выборки существуют только «в точках». Обратите внимание, что если вы проведете это через приличный фильтр реконструкции, вы получите синусоидальную волну, и если вы измените фазу вашей выборки, то выходной сигнал будет смещен одинаково по фазе, но его амплитуда не изменится.

исправленная выборка

TimWescott
источник
1
@ThePhoton Я считаю 2, 4, 8 образцов за цикл.
JPA
2
В качестве дополнения к теоретической теореме Найквиста также предполагается, что у вас есть бесконечно большой период выборки данных. В примере с «пилообразным» книга обманывает, рисуя сигнал с более высокими частотными компонентами. Если у вас был бесконечный ряд этих паттернов high / low / high / low, единственным синусоидальным сигналом, который может генерироваться вечно без высокочастотной составляющей.
Корт Аммон - Восстановить Монику
2
Возможно , вы имели в виду , что мы должны попробовать выше Найквиста?
Ронан
1
@ThePhoton Если вы посмотрите более внимательно на источник сигнала, вы можете увидеть очень слабые точки, это делает его 2 4 8, возможно, вам придется подойти ближе или ближе к монитору, чтобы увидеть все точки в последнем сигнале
Ferrybig
5
@ RonanPaixão Да, в общем, вы хотите сделать выборку выше нормы Найквиста. Есть компромисс: быстрая выборка обходится дорого с точки зрения аппаратного обеспечения и хранения памяти, но с более медленной выборкой необходимые фильтры сглаживания и реконструкции становятся более дорогими. Таким образом, вы склонны к размышлениям и делаете большие таблицы, а затем решаете - и пять лет спустя технологии достигли такой степени, что ваше «лучшее» решение выглядит безнадежно неправильным.
ТимВескотт
5

Картинка Б крайне неправильная. Он содержит очень острые углы в выходном сигнале. Очень острые углы равны очень высоким частотам, намного выше частоты дискретизации.

Чтобы выполнить примерные теоремы Найквиста, вам необходимо отфильтровать сигнал низких частот восстановленного сигнала. После фильтрации нижних частот сигнал B будет выглядеть как входной сигнал, а не как треугольник (так как все острые углы не могут проходить через фильтр нижних частот).

Чтобы быть точным, вам нужно пропустить и входной сигнал, и выходной сигнал. Входной сигнал должен быть отфильтрован по нижним частотам до максимальной половины частоты дискретизации, чтобы не «сворачивать» более высокие частоты.

К сожалению, это распространенное искажение того, как работает выборка. Более правильное описание будет использовать функцию sinc для реконструкции (я рекомендую поискать функцию sinc).

В реальных приложениях невозможно иметь «идеальный» фильтр нижних частот (пропуская все частоты ниже и блокируя все выше). Это означает, что вы обычно сэмплируете частоту, по крайней мере, в 2,2 раза превышающую максимальную частоту, которую вы хотите воспроизвести (например: качество CD, сэмплированное с частотой 44,1 кГц, чтобы обеспечить максимальную частоту 20 кГц). Даже это различие затруднит создание аналоговых фильтров - большинство приложений реального мира "сэмплируют", как и фильтр нижних частот, частично в цифровой области.

ghellquist
источник
4
Чтобы быть справедливым, вы интерпретируете графики не так, как они представлены - нет никаких утверждений, что они являются «реконструкцией» только потому, что они являются оцифрованным выходом АЦП. Соединение точек с линиями является распространенным искушением и особенностью систем, которые минимально представляют данные, не пытаясь их интерпретировать .
Крис Страттон
1
Я согласен на искушение. Часто, хотя я вижу, что это изображено как шаги вместо этого, большинство программ показывают лестницы при увеличении масштаба. Проблема в том, что люди начинают интерпретировать линии (или лестницы) как истинное значение дискретизированного сигнала. Чаще всего образцы будут воспроизведены позже.
ghellquist
Вопрос четко показывает моночастотный ввод. Псевдоним не в этом вопрос.
Скотт Сейдман
3

Теорема выборки гласит, что сигнал может быть полностью реконструирован, если частота дискретизации строго больше, чем содержание самой высокой частоты в сигнале. Но эта реконструкция основана на введении (бесконечных) синус-импульсов в каждом образце. С теоретической точки зрения это очень важный результат, но на практике достичь его невозможно. На странице книги описан метод реконструкции, основанный на рисовании прямых линий между образцами, что является чем-то совершенно другим. Итак, я бы сказал, что книга верна, но она не имеет ничего общего с теоремой выборки.

StefanH
источник
4
Не совсем, «строго больше, чем вдвое больше ширины полосы» является обычной формулировкой, и разница имеет значение (вот почему субсэмплинг как средство для преобразования с понижением частоты работает).
Дэн Миллс
Да, но для объяснения теоремы выборки в отношении вопроса я все равно остановился бы на самой высокой частоте. Вопрос в том, чтобы выбрать чистый синус, и тогда может быть сложно ввести пропускную способность.
StefanH
3

Очень хороший обзорный документ - Unser: Sampling - через 50 лет после Шеннона . Ваша проблема возникает из-за того, что чистые бесконечные синусоидальные сигналы не охватываются теоремой отсчетов Шеннона. Применимая теорема для периодических сигналов является более ранней теоремой отсчетов Найквиста.


Теорема выборки Шеннона применяется к функциям, которые могут быть представлены как

Икс(T)знак равно-WWИкс(е)ея2πеTdе

где X - квадратично-интегрируемая функция. Тогда этот сигнал может быть точно представлен из дискретных отсчетов как

Икс(T)знак равноΣКзнак равно-Икс(КT2)грех(πW(T-КT2))πW(T-КT2)

с Tзнак равно1WПериод". Обратите внимание, что идеальная реконструкция зависит от выборок из сколь угодно больших времен в будущем и прошлом. Поскольку их влияние падает только как1TУсечение суммы должно включать довольно большое количество терминов, чтобы уменьшить количество ошибок.

Чистая функция синуса не содержится в этом классе, поскольку ее преобразование Фурье состоит из дельта-распределений Дирака.


Более ранняя теорема отсчетов Найквиста утверждает (или повторно интерпретирует более раннее понимание), что если сигнал является периодическим с периодом T и наибольшей частотой W = N / T , то это тригонометрический полином

Икс(T)знак равноΣNзнак равно-NNИксNея2πNTT

с 2N + 1 (нетривиальными) коэффициентами, и эти коэффициенты могут быть восстановлены (по линейной алгебре) из 2N + 1 выборок за период.

Случай чистой синусоидальной функции попадает в этот класс. Это обещает идеальную реконструкцию, если брать 2N + 1 выборок за время NT .

Лутц Леманн
источник
3

Что было общим из книги не говорит ничего о «Найквиста выборки Критерий» - это говорит только о точке отбора проб синусоиды с гипотетическим АЦП, а затем (неявно) построение выходного сигнала с использованием (не указан) простой ЦАП, который выполняет линейную интерполяцию между значениями выборки.

Учитывая этот контекст, тезис «РИСУНОК 6.10», как правило, является правильным и хорошо продемонстрированным.

По мере увеличения частоты дискретизации АЦП точность воспроизведения оцифрованного сигнала улучшается.

Если вы хотите поговорить о верности идеализированной реконструкции , это совсем другое дело. Любое обсуждение скорости Найквиста подразумевает использование интерполяции sinc, которая, опять же, не упоминается на рисунке.


Настоящим недостатком этой фигуры является идея о том, что точечный образец является значимым понятием в технике. Практически говоря, АЦП будет подключен к компоненту датчика, который работает путем накопления реального входного сигнала в течение некоторого периода времени.


Забавно, однако, что эта цифра, по-видимому, неверна (с коэффициентом два) относительно конкретных частот дискретизации, показанных на диаграммах - хотя показанный «Выход» влияет только на это в случае «C».


Используя приведенное выше утверждение, я нашел очень похожую диаграмму в «Практическом подходе к нейрофизиологическому интраоперационному мониторингу» в дискуссии об обработке сигналов ЭЭГ. Для чего стоит, это обсуждение включает в себя следующее:

Теорема, описывающая минимальную частоту дискретизации, необходимую для АЦП для точного представления аналогового сигнала, известна как теорема Найквиста. В нем говорится, что частота дискретизации АЦП должна быть более чем в два раза выше, чем у самой быстрой частотной составляющей сигнала.

nobar
источник
... некоторый период времени и / или пространства - при переводе физических явлений в цифровые образцы. Грубо говоря, всегда будет свойственный фильтр нижних частот.
nobar
Что - то я просто наткнулся на этот адрес , присущий фильтр низких частот: engadget.com/2019/05/04/...
nobar
Дело в том, что идеальная реконструкция физического сигнала в принципе невозможна (в общем случае) и что наилучшая реконструкция должна учитывать эффективную фильтрацию нижних частот, которая присуща физическому и цифровому преобразование.
nobar
Это видео (разделенное в комментариях к вопросу) теряет некоторую достоверность в 8:17, когда он говорит, что пиксели 2D-изображения являются «концептуально, бесконечно малыми точками». Он игнорирует много деталей о том, как на самом деле снимаются образцы изображений и какую информацию они представляют.
nobar
... Хотя верно, что цифровые пиксельные отсчеты захватываются и сохраняются как значения, которые являются дискретными в их представлении времени / пространства - это не означает, что они являются «бесконечно малыми точками».
nobar