Почему V среднеквадратичное значение вместо среднего?

Я смотрю на уравнение для средней мощности в сигнале

и интересно, почему это не так

Просто: среднее значение синуса равно нулю.

Мощность пропорциональна квадрату напряжения:

$P = \dfrac{V^2}{R}$

таким образом, чтобы получить среднюю мощность, вы рассчитываете среднее напряжение в квадрате. Вот что относится к среднеквадратическому среднеквадратичному значению: Среднеквадратичный квадрат: взять квадратный корень из среднего (среднего) квадрата напряжения. Вы должны взять квадратный корень, чтобы снова получить измерение напряжения, так как вы впервые возвели его в квадрат.

Этот график показывает разницу между ними. Фиолетовая кривая - это синус в квадрате, желтоватая линия - абсолютное значение. Среднеквадратичное значение равно , или около 0,71, среднее значение равно , или около 0,64, разница составляет 10%. $\sqrt{2}/2$$2/\pi$

RMS дает вам эквивалентное напряжение постоянного тока для той же мощности. Если вы измерите температуру резистора как меру рассеиваемой энергии, вы увидите, что она такая же, как для напряжения постоянного тока 0,71 В, а не 0,64 В.

Однако,
измерение среднего напряжения дешевле, чем измерение среднеквадратичного напряжения, и это то, что делают более дешевые цифровые мультиметры. Они предполагают, что сигнал является синусоидальной волной, измеряют выпрямленное среднее и умножают результат на 1,11 (0,71 / 0,64), чтобы получить среднеквадратичное значение. Но коэффициент 1.11 действителен только для синусоидальных волн. Для других сигналов соотношение будет другим. Это соотношение получило название: оно называется форм-фактором сигнала . Для ШИМ-сигнала с рабочим циклом 10% форм-фактор будет или около 0,316. Это намного меньше, чем 1,11 синуса. Цифровые мультиметры, которые не являются «истинным среднеквадратичным значением», будут давать большие ошибки для несинусоидальных сигналов.$1/\sqrt{10}$

Теперь говоря с точки зрения уравнений:

$P_{avg}= avg(P_{inst})$

Теперь где и - мгновенное напряжение и ток соответственно. следовательно$P_{inst} = v(t) \cdot i(t)$$v(t)$$i(t)$

$P_{inst} = \dfrac{(v(t))^2}{R}$

$P_{avg} = avg(\dfrac{((v(t))^2}{R})$

$P_{avg}= \dfrac{V_{rms}^2}{R}$

Как RMS =$\sqrt{\text{average of squares of inst.}}$

Почему это просто.

Вы хотите 1 Вт = 1 Вт.

Представьте себе примитивный нагреватель, резистор на 1 Ом.

Рассмотрим 1 В пост. Тока в резисторе на 1 Ом. Потребляемая мощность, очевидно, составляет 1 Вт. Делайте это в течение одного часа, и вы сжигаете один ватт-час, выделяя тепло.

Теперь вместо постоянного тока вы хотите подать переменный ток на резистор и производить то же самое тепло. Какое переменное напряжение вы используете?

Получается, что среднеквадратичное напряжение дает желаемый результат.

Вот почему RMS определяется так, как оно есть, чтобы сделать правильные числа мощности.

Потому что мощность равна V ^ 2 / R, так что вы рассчитываете среднее значение квадратов напряжений вдоль синусоидальной волны, чтобы получить V ^ 2avg. Для простоты мы берем среднее значение этого среднего, тогда мы можем иметь дело с ним, как мы хотим.

Ответ - причина, приведенная Джоном Р. Стромом, и объяснение таково: (требуется несколько дополнений к ответу Стивенва)

Видите ли, когда вы посылаете постоянный ток через резистор и волну переменного тока через резистор, резистор нагревается в обоих случаях, но в соответствии с уравнением для среднего значения тепловой эффект для переменного тока должен быть равен 0, но не почему? Это потому, что когда электроны движутся в проводнике, они ударяют атомы, и эта энергия, передаваемая атомам, следовательно, ощущается как тепло, теперь AC делает то же самое, только электроны движутся в разных направлениях, но передача энергии здесь не зависит от направление и так проводник все равно нагревается.

Когда мы находим среднее значение, компоненты переменного тока отбрасываются и, следовательно, не в состоянии объяснить, почему выделяется тепло, но уравнение RMS исправляет это - как говорит Стивенвх, взяв квадрат, а затем квадратный корень, мы переносим отрицательную часть в верхнюю часть ось такая, что положительные и отрицательные части не отменяются.

Вот почему мы говорим, что средние и среднеквадратичные значения волны постоянного тока одинаковы.

То же самое относится к любому сигналу реального мира (под этим я подразумеваю несовершенный, а не чистый переменный ток), поскольку ряд Фурье говорит, что любая волна может быть заменена правильной комбинацией синусоидальных и косинусных волн, и поскольку частоты волн выше (целочисленные кратные базовой частоты) они тоже отменяются, изолируя компонент постоянного тока.

Вышесказанное является причиной того, что мы определяем среднеквадратичное значение как эквивалентное значение постоянного тока, которое генерирует такое же количество тепла, что и волна переменного тока.

Надеюсь это поможет.

PS: я знаю, что объяснение того, как генерируется тепло, довольно неоднозначно, но я не могу найти лучший, но я все равно согласился, потому что это помогает передать сообщение

у (х) = | х | не дифференцируемо, потому что y '(0) не определено.

y (x) = sqrt (x * x) дифференцируемо.

Однако в остальном они эквивалентны.

Vrms = среднее (abs (v (t))) = среднее (sqr (v (t) * v (t)))

Почему они выбрали одно определение над другим? Ну, в среднем это дифференцируемая функция.