Бесконечный тепловой ток, шум в проводе?

Плотность теплового шума можно записать как:

Это выглядит немного уродливо, но, возможно, если мы немного больше подумаем о том, что такое провод с нулевым сопротивлением, мы сможем понять, почему мы не получим что-то физически нереальное.

Сверхпроводники

Один из способов получить нулевое сопротивление - использовать сверхпроводники. Это очень странные материалы - они имеют огромные квантовые эффекты, но теория шума Джонсона-Найквиста, которую вы используете в своем вопросе, является полуклассической, поэтому мы можем разумно ожидать, что она не будет работать, когда происходит много квантовых вещей.

Фактически, в сверхпроводнике есть две проводящие «жидкости», разделяющие одно и то же пространство. Одна, нормальная жидкость, состоит из электронов и действует как электроны в нормальном материале. Это будет иметь тепловые колебания, как те, которые вызывают шум Джонсона Найквиста. Другой, называемый сверхтекучей, состоит из медных пар и имеет нулевое сопротивление. Таким образом, он закоротит любой внешний ток или напряжение (что делает сверхпроводники идеальными проводниками). Но это также закоротит шумовое напряжение от нормальной жидкости. Каждое тепловое колебание в материале будет немедленно и полностью отменено движением в сверхтекучей жидкости, поэтому не будет никакого шума Джонсона-Найквиста. Там может быть другой шум, но это совсем другая тема.

Не сверхпроводники

В результате мы делаем проволоку с нулевым сопротивлением из обычных материалов, что, конечно, невозможно. Так что проблема не в том, что ток бесконечен, а в том, что он стремится к бесконечности, когда мы уменьшаем сопротивление. Чтобы понять, имеет ли это смысл, мы должны подумать о том, что на самом деле означает уменьшение сопротивления до нуля.

Сопротивление блока материала представляет собой зависящую от материала постоянную, умноженную на длину, деленную на площадь поперечного сечения. Тогда два способа получить нулевое сопротивление:

1. Увеличить площадь до бесконечности. Наличие бесконечного шумового тока в бесконечной области кажется разумным, плотность тока такая же, как и для конечного блока материала.

2. Уменьшить длину до нуля. Это немного сложнее, и я не уверен, что мое решение верное. Но я думаю, что это сводится к геометрии. Если окружность петли стремится к нулю, то толщина проволоки также должна стремиться к нулю, или это больше не петля проволоки. Это означает, что существует минимальное сопротивление, при котором вы можете разумно применить теорему Джонсона-Найквиста. Помимо этого у вас есть медная пластина с отверстием, и вам придется анализировать это по-другому. Существует целое подразделение физики, называемое флуктуационной электродинамикой, и вы, вероятно, найдете подробный ответ где-то там.

Это кажется странным! Я понимаю, что конечная мощность шума не зависит от сопротивления, но все же бесконечная плотность шума кажется абсурдной.

Нет, это не странно и не абсурдно, потому что вы делите 0 на 0:

Вы получаете силу от тока, возводя в квадрат и умножая на R, так что вы получаете один R в числителе и один в знаменателе, и оба отменяются:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
который не зависит от R.

Таким образом, даже если текущая плотность шума бесконечна, мощность шума - нет.

все же бесконечная плотность шума кажется абсурдной.

Вы предполагаете $R=0$что так же абсурдно. Но да, если у вас есть малейшее напряжение в системе без сопротивления, вы получите бесконечный ток. Ом.

Тем не менее, формула теплового шума на самом деле выводится через случай напряжения (т. Е. Вы получаете колебания уровня заряда зарядов (электронов), и они наблюдаются как колебания напряжения). Таким образом, в сверхпроводнике этот взгляд на тепловой шум нарушается.

Это кажется странным. На самом деле это неправильно! Джек Б. сделал решающий момент : шум Джонсона-Найквиста - это квазиклассическая модель, т.е. это упрощенное приближение, которое хорошо работает в пределе крупномасштабных систем (т. Е. Всего, чем пара сотен атомов) при высокой температуре (которая в физика твердого тела означает грубо, не охлаждается жидким гелием ). Именно в этих условиях измеряемое поведение «выглядит классическим», потому что тепловые флуктуации разрушают фазовую когерентность, которая была бы необходима для проявления макроскопических квантовых явлений, таких как сверхпроводимость или квантовый эффект Холла. Так получилось, что в электронике мы в основном всегда работаем в этом классическом режиме по очевидным практическим причинам.

Но те же тепловые флуктуации (фононные столкновения) неизбежно также вызывают некоторое ненулевое удельное сопротивление. Таким образом, вы можете взять только предел$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$ либо сделав поперечное сечение $A$ бесконечно большой (в этом случае, как сказал Джек, вполне разумно, что токи тоже становятся бесконечными, как и масса и все остальное) или путем уменьшения длины $\ell$ практически до нуля, в этом случае у вас нет крупномасштабной системы, необходимой для квазиклассического описания.

Читайте об ультрафиолетовой катастрофе , которая является в основном аналогичным парадоксом с точки зрения энергии излучения и фактически была одним из стимулов для развития теории квантовой механики в первую очередь, поскольку классическая физика, очевидно, дала фиктивные результаты.