S = VI * / 2 деривация

Пусть V и I - мгновенное напряжение и ток на нагрузке. Из определения мощности, напряжения и тока мы имеем соотношение для мгновенной мощности:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Это означает, что мощность в данный момент времени $t$ равна произведению напряжения и тока именно в этот момент.

Я предполагаю, что вы знакомы с тем, что на самом деле означает векторное представление. Коротко говоря: вектор - это математическое сокращение для обозначения синусоиды с заданной неизвестной частотой.

Итак, $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ является сокращением для $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ . Аналогично: $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ означает $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$ .

Умножение для всех дает нам форму мгновенной мощности для каждого . Работаем над этим умножением: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

As , си, мы можем упростить приведенное выше уравнение для: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Эта форма волны довольно интересна для себя: это постоянное значение сложенная синусоидой $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Это ясно показывает, что мгновенная мощность не постоянна во времени.

Основываясь на этом результате, мы можем видеть, что средняя степень равна неизменяемой составляющей (довольно просто доказать, что математически нужно просто решить интегральную $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Обоснованный этим результатом и довольно милой геометрической интерпретацией , это значение было определено как реальная мощность , то есть мощность, которая фактически передается нагрузке. Теперь вы знаете, что эта так называемая реальная мощность - не более чем средняя мощность на нагрузке. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Окунёмся в эту концепцию немного (жаль, я не могу здесь нарисовать, но попробую):

Пусть v - вектор с величиной || v || и фаза , и я - вектор с величиной || i || и фаза если вы умножаете || i || по вы получаете проекцию i на v . С другой стороны, назовем компоненту I в квадратуре с V $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ ,

Теперь вы можете понять, почему средняя мощность имеет классную геометрическую интерпретацию: средняя мощность - это напряжение, умноженное на проекцию тока на напряжение в векторном пространстве.

Это мотивировало создание комплекса сил S как:

S = P + jQ

С этим определением действительная часть вектора - это точно средняя мощность, передаваемая нагрузке, а сложная часть - это мощность, указанная в квадратуре , называемая реактивной мощностью (Google Power Triangle, чтобы увидеть геометрическую интерпретацию этого результата) ,

Хорошо, теперь возвращаясь к определению , мы видим, что $s(t)$ и, по определению, и для соответствия определению S, равно $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Итак, как мы хотели доказать в начале:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Итак, вот, что вы хотели увидеть;)

редактировать : какова физическая интерпретация Q?

Выше я показал, какова физическая интерпретация действительной части комплексной мощности, P, то есть средней мощности, передаваемой нагрузке. Но что именно Q, как можно визуализировать это? Он основан на том факте, что cos и sin являются ортогональными , и принцип суперпозиции может применяться к мощности, если две формы волны, участвующие в вычислении, являются ортогональными. Давайте углубимся в математику, потому что это действительно важно.

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a sinusoid centered on $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ with that same amplitude (its minimum value is 0 and its maximum value is $V_{M}I_{M}$ ). Let's call it P

Second case: purely inductive load, so that

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a purely oscillatory waveform with mean value equal to 0. Let's call this result Q.

Third case: the generic case

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In this case, s(t) is exactly the general equation we found on the discussion above. But we can rewrite that to make use of the result of the two previous cases, like this:

First, we rewrite the equation in terms of $\theta$ (notice that $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ ): $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ Knowing that: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ , letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

Castilho
источник

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . I thought this term would be the reactive power, Q; however,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. I don't understand how you went from

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . It's as though

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

user968243

Yep. you're right, that's NOT Q. The reactive power is defined only in terms of the phase difference between voltage and tension, and it's a value that's directly related to the definition of S as a phasor. It's the power that would be delivered by the current in quadrature with the voltage. The time varying component is not taken into account, because in this sense what really matters is the mean power at the load. The varying part EXISTS, is really there (watch a incandescent light bulb, for example), but, over time, the power is related only to the static part of s(t). ;)

Castilho

Okay, so does this varying part have a special name? Anyway, so if I understand it correctly, the amount of I in the direction of V is the real power, and the amount of I, perpendicular to V is the complex power.

user968243

almost that, the amount of I in the direction of V multiplied by V is the real power P, the amount of I perpendicular to V multiplied by V is the REACTIVE power Q, P+jQ is the complex power, or apparent power ;)

Castilho

Okay, that makes sense! Actually in my previous comment, I was asking what the name for this is: −VMIM2cos(2ωt+ϕV+ϕI) I really thought that it was the reactive power... Thanks for your reples by the way, I'm grateful!

user968243

S = VI * / 2 деривация

Ответы: