Как вы визуализируете отрицательную частоту во временной области?

В области цифровой обработки сигналов я видел людей, использующих слова

Сложные сигналы и отрицательные частоты. Например, в БПФ Спектрум.

Действительно ли оно имеет значительный смысл во временной области или является лишь частью математической симметрии.

Как вы визуализируете отрицательную частоту во временной области?

БПФ работают, обрабатывая сигналы как двумерные - с действительной и мнимой частями. Помните круг единиц ? Положительные частоты - это когда вектор вращается против часовой стрелки, а отрицательные частоты - когда вектор вращается по часовой стрелке.

Если вы отбросите мнимую часть сигнала, различие между положительными и отрицательными частотами будет потеряно.

Например ( источник ):

Если бы вы нарисовали мнимую часть сигнала, вы бы получили другую синусоиду, сдвинутую по фазе относительно реальной части. Обратите внимание, как если бы вектор вращался в другом направлении, верхний сигнал был бы точно таким же, но фазовое отношение мнимой части к реальной части было бы другим. Отбрасывая мнимую часть сигнала, вы не можете узнать, является ли частота положительной или отрицательной.

Во временной области отрицательная частота представлена ​​инверсией фазы.

Для косинусной волны это не имеет никакого значения, так как в любом случае оно симметрично относительно нулевого времени. Он начинается с 1 и падает до нуля в любом направлении.

Однако синусоидальная волна начинается со значения ноль в нулевое время и поднимается в положительном направлении, но падает в отрицательном направлении.

Здесь немного другой подход. Посмотрим, какая периодическая функция имеет преобразование Фурье именно с частотой .$-1$

Это функция для t ∈ [ 0 , 1 ] .$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

Обратите внимание, что эта функция имеет ту же действительную часть, что и функция . Эта последняя функция имеет только одну частотную составляющую - частоту 1 .$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

Причина, по которой эти отрицательные частоты проявляются при рассмотрении только реальных сигналов, заключается в том, что они дают более простой способ описания строго сложных собственных значений действия единичного круга на его функциональном пространстве.

Изменить: Чтобы расширить последний комментарий, для того, чтобы сделать частотный анализ, мы действительно хотели бы занять пространство вещественных функций на , F ( [ 0 , 1 ] , R ) и иметь возможность выразить любую функцию f ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) через некоторый естественный базис F ( [ 0 , 1 ] , R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$, Мы согласны с тем , что это не так уж много , если мы начнем наш период до 1 или 1 / 2 до +3 / 2 , так что мы действительно желаем , чтобы эта основы вести себя хорошо по отношению к оператору сдвига F ( х ) ↦ ф ( + х ) .$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$

Проблема в том, что с соответствующими прилагательными не является прямой суммой функций, которые ведут себя хорошо по отношению к сдвигу. Это (законченная) прямая сумма двумерных векторных пространств, которые ведут себя хорошо по отношению к оператору сдвига. Это связано с тем, что матрица, представляющая отображение f ( x ) ↦ f ( a + x ), имеет комплексные собственные значения. Эти матрицы будут диагональными (в соответствующем базисе), если мы усложним ситуацию. Вот почему мы изучаем F ( [ 0 , 1 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$ вместо этого. Однако введение комплексных чисел имеет штраф - мы получаем понятие об отрицательных частотах.$F([0,1], \mathbb{C})$

Это все немного абстрактно, но чтобы увидеть, о чем я говорю, рассмотрим две мои любимые функции: sin(2πt)=

Рассмотрим сдвиг на ,s(f(x))=f(x+$\frac{1}{4}$. s(cos(2πt))=-sin(2πt)s(sin(2πt))=cos(2πt) Действительный интервал векторного пространстваcos(2πt)иsin(2π)t)- двумерное векторное пространство функций, сохраняемое$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$

Это двумерное пространство функций не может быть разложено на собственные пространства для если мы не усложним его. В этом случае собственные векторы будут e 2 π i t и e - 2 π i t .$s$$e^{2\pi \mathrm{i} t}$$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$

Напомним, что мы начали с двух положительных частот, но для диагонализации действия нам пришлось добавить отрицательную частотную функцию e - 2 π i t .$s$$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$

$\omega_0$

$\omega=\omega_0$$\omega=-\omega_0$

$x(t)$ вы в основном сдвигаете исходный спектр на несущую частоту $\omega_c>\omega_0$:

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.