Приведенная форма эконометрической модели, проблема идентификации и тест

Нужна помощь, чтобы понять следующую проблему и как использовать сокращенную форму в эконометрике

Рассмотрим модель здоровья человека:

$$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$$

Предположим, что все переменные в уравнении, за исключением упражнения, не связаны с u.

А) Запишите сокращенную форму для упражнений и укажите условия, при которых определяются параметры уравнения.

Б) Как можно проверить предположение об идентификации в части с?

---

Правильно ли предположить:

$$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$$ как уменьшенная форма?

и это условие для идентификации параметров просто

$E(exercise|u)=0$

и как я могу проверить это? Но кроме того, для чего это нужно?

Это очень стандартный вопрос об инструментальных переменных линейных моделей с одним уравнением. Учитывая примитивы вашего вопроса, единственной эндогенной переменной является упражнение . Чтобы ответить на этот конкретный вопрос, вам нужна экзогенная переменная z , которая удовлетворяет двум условиям:

1. СОУ (г, и) = 0.
2. Должна быть связь между эндогенной переменной и этой экзогенной переменной, которую вы предлагаете, но она не была частью истинной постулированной модели (структурной модели). Другими словами, с , и ортогонально всем вашим объясняющим переменным (кроме упражнений) и z. $$exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$$ $\phi\ne 0$$\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Прежде чем двигаться дальше, замечание. Под структурной моделью я подразумеваю, следуя соглашению Вулдриджа и Голдбергера, постулированную модель. То есть модель, которая устанавливает причинно-следственную связь между здоровьем и вашими ковариатами. Это ключевое различие и несогласие с предыдущими ответами.

Теперь, возвращаясь к рассматриваемой проблеме, условие 2 - это то, что в литературе по уравнениям одновременности называется уравнением приведенной формы , которое представляет собой не что иное, как линейную проекцию эндогенного на все экзогенные переменные, включая z.

Теперь подключите сокращенную форму к вашей постулированной модели, и вы получите

$$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$$ где , и . По определению линейной проекции, не коррелирует со всеми объясняющими переменными, и, следовательно, OLS этого последнего уравнения будет давать непротиворечивые оценки для и , а не базового в истинной модели.$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$$\delta=b_6\phi$$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$$\nu$$\alpha_i$$\delta$$b_i$

Идентификация требует небольшого количества манипуляций в матричной форме, но по существу она сводится к так называемому условию ранга . Определите и так, чтобы ваша структурная модель была . Теперь определите . По условию 1 (cov (z, u) = 0, так что E (z, u) = 0), если умножить бот-стороны структурной модели на и ожидайте, что у вас есть Состояние ранга гласит, что$\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$$\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$$health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$$\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

$$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$$ $\mathbf{z}$ $$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$$ $\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$полный ранг столбца. В этом конкретном примере и при заданных условиях на z это эквивалентно Поэтому мы имеем 6 уравнений в 6 неизвестных. Следовательно, существует единственное решение для системы, т.е. идентифицировано и равно , по желанию.$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$$\mathbf{b}$$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Примечания: Условие 1 полезно для получения условия момента, но модель приведенной формы с имеет решающее значение для условия ранга. Оба условия обычные.$\phi$

На данный момент должно быть понятно, зачем нам это нужно. С одной стороны, без z OLS оценщик истинной модели будет давать противоречивые оценки не только для но и для всех . С другой стороны (и в некоторой степени связанные), наши параметры уникально идентифицируются, поэтому мы уверены, что оцениваем истинную причинную связь, как указано в нашей истинной модели.$b_6$$b_i$

Что касается тестирования, условие 2 (z и упражнение частично коррелированы) можно проверить напрямую, и вы всегда должны сообщать об этом шаге вопреки комментарию в предыдущем ответе. В отношении этого шага существует огромная литература, особенно литература о слабых инструментах.

Тем не менее, второе условие не может быть проверено напрямую. Иногда вы можете использовать экономическую теорию для обоснования или предоставления альтернативных гипотез, поддерживающих использование z.

Вопрос не имеет большого смысла для меня, как указано. Если проблема говорит о том, что упражнение является эндогенным (коррелирует с ошибкой), вы не можете предположить обратное в решении. Кроме того, обычно говорят о сокращенной или структурной форме в контексте оценки IV. Если упражнение является эндогенным, вам нужен инструмент для него (переменная, которая предсказывает упражнение, но не влияет на здоровье в противном случае), чтобы получить причинный эффект. Например, если некоторые люди из вашей выборки случайно выиграли купоны на членство в спортзале, это могло бы стать правильным инструментом.

Тогда предположения об идентификации будут

1. купон действительно предсказывает упражнение

2. купон ортогональна$u$

То, что называется структурной формой, - это два уравнения: одно исходная модель, другое регрессионное упражнение на купоне и другие объясняющие переменные из исходной модели (первый этап). Уменьшенная форма будет иметь место, когда вы заменяете первую стадию на основное уравнение, поэтому вы регрессируете здоровье на возраст, вес, ..., работу и купон (но не на физическую нагрузку , как это было заменено). Сокращенная форма иногда используется для объяснения свойств оценки IV, но AFAIK не так широко используется на практике.