Как интегрировать кусочную функцию и что такое точка с запятой в нотации функции?

Я пытаюсь получить cdf из pdf, который, согласно этому открытому обучающему видео MIT , так же прост, как получить интеграл от - до ∞ . Как это:$\infty$$\infty$

$$F_z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_z(z)dz\, = 1$$

И это работает для таких функций: $f_x(X)$

Но как насчет такой функции, как ?$f(X;\beta)$

Да, это проблема с домашним заданием, поэтому я не жду точного ответа, но, надеюсь, некоторые общие принципы. Мне трудно гуглить, чтобы узнать, как это сделать, потому что я не знаю, как вызвать функцию такого типа , и я не знаю, как ввести β в google.$f(X;\beta)$$\beta$

PDF у меня есть:

$$f(X;\beta)= \begin{cases} \frac {e^{-X/\beta}}{\beta}, & \ X\geq0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

$$f(X;\theta)=1-e^{-X/\beta}$$

$f(X;\beta)$$f(X;\theta)$

$f(X|\beta)$

$$F_X(x;\beta) = P(X \leq x; \beta=\theta) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x;\beta) dx$$

$x=u$$\beta=\theta$

$$P(X \leq u; \theta)=\int_{-\infty}^u f_X(u;\theta) du$$

$$= \int_{- \infty}^0 f(u;\theta) du + \int_0^x f(u; \theta) du$$

$$= 0 + \int_0^x \frac{e^{-u/\theta}}{\theta} du$$

$$= 1 - e^{-x/\theta}$$

$X$$\beta=\theta$

$$F_X(X;\theta) = 1 - e^{-X/\beta}$$

$-\infty$$x$

$F\left(x\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u\right) du$

$f\left(x;\beta\right)$$\beta$$\beta$

$F\left(x;\beta\right) = \int_{-\infty}^{x} f\left(u;\beta\right)du$