Явное разделение между конструктивностью во времени и конструктивностью в пространстве?

10

Покажите функцию которая конструируется в пространстве, но не является временной.е(N)

Связана ли эта проблема с возможным разделением между классами сложности DTIME (f (n)) и SPACE (f (n))?

Тян Лю
источник
3
en.wikipedia.org/wiki/Constructible_function Насколько я знаю, этот вопрос не связан с TIME (f (n)) и SPACE (f (n)), но обратите внимание, что эти два класса, как известно , различны. Ищите статьи «О времени и пространстве», «О времени и пространстве II», «О времени и пространстве III»
Райан Уильямс,
Быстрое наблюдение: я думаю, что проблема эквивалентна вопросу о том, могут ли DTIME (f (n)) ∩TALLY и SPACE (f (n)) ∩TALLY различаться для некоторой пространственно-конструктивной функции f (n), где TALLY класс языков, которые являются подмножествами 1 ^ *.
Цуёси Ито
К сожалению, они не могут быть эквивалентными. Вот доказательство одного направления. Если существует язык L = {1 ^ n | n∈S} ∈ TALLY∩ (ПРОБЕЛ (f (n)) ∖ DTIME (f (n))) для некоторой конструктивно-пространственной функции f (n), тогда и f (n), и f (n) + χ_S (n ) (где χ_S (n) - характеристическая функция S) конструируемые в пространстве, но не оба они конструируемые во времени, и, следовательно, по крайней мере одна из них является конструируемой в пространстве, но не конструируемой во времени функцией.
Цуёси Ито
2
Благодаря Райану, по вашему комментарию я знаю, что TIME (f (n)) содержится в SPACE (f (n) / log f (n)) Хопкрофта и др., А последний правильно содержится в SPACE (f (n) )) по теореме о пространственной иерархии.
Тян Лю
Благодаря Tsuyoshi, очень умным идеям, если и f (n), и f (n) + χ_S (n) являются конструируемыми по времени, то мы можем решить, будет ли n∈S в самое большее f (n) +1 время, таким образом, L ∈TALLY ∩ DTIME (f (n)), противоречие. но можно ли назвать ваши конструкции "экспликтом"? какой из них не конструируемый во времени, f (n) или f (n) + χ_S (n)? под «явным», если я имею в виду, что мы можем определить значение f (n) для всех n, то ваша конструкция является явной.
Тянь Лю

Ответы:

6

Функция является конструируемой по времени, если существует машина Тьюринга M, которая на входе 1 n вычисляет функцию x T ( | x | ) за время O ( T ( n ) ) .T:NNM1NИксT(|Икс|)О(T(N))

Функция конструируема в пространстве, если существует машина Тьюринга M, которая на входе 1 n вычисляет функцию x S ( | x | ) в пространстве O ( S ( n ) ) .S:NNM1NИксS(|Икс|)О(S(N))

Некоторые тексты требуют, чтобы конструктивные функции времени / пространства были неубывающими. Некоторые тексты требуют, чтобы конструктивные функции времени удовлетворяли , а конструктивные функции пространства удовлетворяют S ( n ) log n . Некоторые тексты не используют обозначение O ( ) в определении.T(N)NS(N)журналNО()

В любом случае, легко показать, что каждая «обычная» функция , удовлетворяющая f ( n ) log n и f ( n ) = o ( n ), конструируема в пространстве, но не конструктивна во времени.ее(N)журналNе(N)знак равноо(N)

Проблема конструктивности не связана напрямую с возможным разделением между классами сложности DTIME (f (n)) и SPACE (f (n)). Однако утверждение теорем о временной и пространственной иерархии включает в себя конструктивность. Например:

Теорема о временной иерархии. Если , g - функции, построенные во времени, удовлетворяющие f ( n ) log f ( n ) = o ( g ( n ) ) , то D T I M E ( f ( n ) ) является собственным подмножеством D T Я М Е ( г ( н ) ) .еге(N)журнале(N)знак равноо(г(N))DTяMЕ(е(N))DTяMЕ(г(N))

Обратитесь к книге Ароры и Барака или к Пападимитриу за дополнительной информацией. (Последний использует термин «правильная функция сложности» для обозначения того, что является одновременно конструируемым как во времени, так и в пространстве.)

М.С. Дусти
источник
Спасибо. Я предпочитаю определение, что функция является конструируемой во времени / пространстве, если есть машина Тьюринга, которая работает точно с шагами / квадратами ленты. Конечно, по теорем линейного ускорения времени / пространства это эквивалентно вашим определениям из учебника.
Тянь Лю
Sadeq, ваши определения терминов «конструируемый во времени» и «конструируемый в пространстве» дословно идентичны. Вы говорите, что это просто два разных названия для одной и той же концепции? Если нет, возможно, вам следует исправить свои определения.
Иц
Это просто опечатка.
Цуёси Ито
Извини Иц. Я исправил опечатку.
MS Dousti
4

является конструируемым в пространстве, но не конструируемым во времени. Причина в том, что вы можете отобразить 1 n в двоичное представление в пространстве O ( log n ), но не во времени O ( log n ) .е(N)знак равножурналN1NО(журналN)О(журналN)

Мухаммед Аль-Туркистани
источник
Спасибо за комментарий и ответ. Но можете ли вы показать функцию f (n), которая по крайней мере линейна, то есть f (n)> = n, для разделения? Кажется, что функция времени может быть не меньше n по очевидной причине: необходимо прочитать все входные биты, в противном случае аргумент противника может показать, что функция вычислена неправильно.
Тян Лю
@Tian, - конструируемая в пространстве, но не конструируемая во времени функция. е(N)знак равноN
Мухаммед Аль-Туркистани
Еще раз спасибо, но вы предполагаете, что считывающая головка на входной ленте изначально расположена слева от первого бита ввода? в этом случае, чтобы обнаружить последний бит ввода, головка должна двигаться вправо n + 1 раз, пока не встретится первый пробел после ввода. Тогда конструируемо по времени. Поэтому, пожалуйста, дайте "нетривальное" разделение с помощью функции f (n)> = n + 1? е(N)знак равноN+1
Тянь Лю
2

ЕИксп-TяMЕзнак равноЕИксп-SпAСЕЕИксп-SпAСЕ-СОMпLЕTЕLЕИксп-SпAСЕL{0,1}*КNLM2NК

е(N)знак равно{8N+2если (первый журналN+1К биты бяN(N))L8N+1еще

2NееL

Этот ответ использует ту же идею.

Дэвид Г
источник