Может ли такая матрица существовать?

10

Во время моей работы я столкнулся со следующей проблемой:

Я пытаюсь найти -матрицу , для любого , со следующими свойствами:n×n (0,1)Mn>3

  • Определитель четен.M
  • Для любых непустых подмножеств с, Подматрица имеет нечетный детерминанту тогда и только тогда , когда . I,J{1,2,3}|I|=|J|MJII=J

Здесь обозначает подматрица создается путем удаления строк с индексами в и столбцами с номерами из .MJIMIJ

До сих пор я пытался найти такую ​​матрицу с помощью случайной выборки, но я смог найти только матрицу, которая имеет все свойства, кроме первого , т. Е. Матрица всегда имеет нечетный определитель. Я пробовал разные размеры и разные наборы ввода / вывода без какого-либо успеха. Так что это заставляет меня думать:

Есть ли зависимость между требованиями, которая мешает им быть одновременно истинными?

или

Возможно ли, что такая матрица существует, и может ли кто-нибудь привести мне пример?

Спасибо, Etsch

Etsch
источник
1
Вы имеете в виду случайные подмножества или какие-либо подмножества?
Суреш Венкат
1
Похоже, что и конфликтуют друг с другом потому что ничто не может остановить в одном случайном подмножестве, являющееся в другом случайном подмножестве. Или вы просто хотите, чтобы это было верно для одной пары подмножеств , ? det(Mo1i1)1(mod2)det(Mo2i1)0(mod2)o1o2{o1,o2,o3}{i1,i2,i3}
Питер Шор
Да, два подмножества и являются фиксированными. Например, для можно установить , , и , , и тогда возникает вопрос: существует ли (7x7) матрица такая, что , , и т. Д. В соответствии с определенными 20 свойствами. I={i1,i2,i3}O={o1,o2,o3}n=7i1=1i2=2i3=5o1=2o2=3o3=4Mdet(M)0(mod2)det(M2,3,41,2,5)1(mod2)det(M2,31,2)1(mod2)
Etsch
2
Не могли бы вы просто исправить , , , , , чтобы упростить вопрос и сделать его проще для чтения? i1=1i2=2i3=3o1=1o2=2o3=3
Юкка Суомела
5
Отредактировано для наглядности.
Джефф

Ответы:

22

Такой матрицы не существует.

Идентичность Desnanot-Якоби говорит , что для , так , используя мы получаем Но ваши требования вынуждают левую сторону быть 0 (мод 2) и правую сторону равной 1 (мод 2), показывая, что они несовместимы.ij

detMijijdetM=detMiidetMjjdetMijdetMji
detM1212detM=detM11detM22detM12detM21
Питер Шор
источник
1
Ницца! Тем не менее, теперь я запутался, потому что спрашивающий сказал, что вторая пуля в этом вопросе может быть удовлетворена, что действительно противоречит той личности, которую вы цитировали.
Tsuyoshi Ito
1
@ Tsuyoshi: как вторая пуля противоречит личности? Тождественная матрица удовлетворяет второму пункту, и легко проверить, что удовлетворяю тождеству Деснанота-Якоби. (Если вы не берете , что нарушает условие в идентичности, которое я только что добавил к своему ответу.)IIi=j
Питер Шор
Извините, мой предыдущий комментарий был фальшивым, и мне кажется, что я запутался больше, чем думал. Почему требование в вопросе заставляет левую часть второго уравнения в вашем ответе быть 0 mod 2?
Tsuyoshi Ito
1
Теперь я понимаю, что вы имели в виду. Вам не нужно было удалять первую строку и первый столбец.
Tsuyoshi Ito
1
@Etsch: я думал о когда писал . Я думаю, что теперь это правильно. MM1,2,31,2,3
Питер Шор