У Бейджи, Шора и Уотруса есть очень хорошая статья о силе квантовых интерактивных доказательств с короткими сообщениями. Они рассматривают три варианта «коротких сообщений», и один из них, который меня волнует, - это их второй вариант, в котором может быть отправлено любое количество сообщений, но общая длина сообщения должна быть логарифмической. В частности, они показывают, что такие интерактивные системы доказательства обладают выразительной силой BQP.
То, что я хочу знать, - есть ли аналогичные результаты для настройки с несколькими пруверами, для классических или квантовых верификаторов. Известны ли какие-либо нетривиальные результаты сложности для интерактивных доказательств с несколькими доказательствами, где общая длина всех сообщений ограничена логарифмической величиной задачи?
источник
Ответы:
Полностью классический корпус (MIP)
Если верификатор является классическим, и среди проверяющих нет никакой запутанности, ваш класс содержит BPP∪NP и содержится в MA .
Тривиально, что BPP является нижней границей. Чтобы показать, что класс содержит NP, рассмотрим стандартную интерактивную систему доказательств с одним доказательством с двумя доказательствами для 3-цветности с идеальной полнотой и погрешностью 1-1 / poly. Если вы хотите уменьшить погрешность устойчивости до постоянной, объедините ее с теоремой PCP.
Что касается верхней границы, справедливо следующее более сильное утверждение: MIP с ограничением на то, что общая длина сообщения от верификатора до каждого средства проверки равна O (log n ), равна MA. Это связано с тем, что стратегия каждого средства проверки может быть описана строкой полиномиальной длины.
Интересно, что существует другая верхняя граница, когда система обладает совершенной полнотой. А именно, многопробельные интерактивные системы доказательства с совершенной полнотой с O (log n ) -битным общим обменом распознают не более P NP [log] , и это верно, даже если мы допускаем неограниченную ошибку надежности. Чтобы доказать это в случае двух проверок, пусть x s будет объединением всех ответов, данных первым проверяющим, когда объединение всех вопросов к первому проверителю равно s , и определим y t аналогично для второго проверяющего. Чтобы быть принятым верификатором с уверенностью, эти переменные x s и y tдолжны удовлетворять определенным ограничениям, и обратите внимание, что это 2CSP. Существует не более поли ( n ) вариантов для кортежей ( s , t , x s , y t ), и для каждого варианта мы можем использовать оракула NP, чтобы проверить, отклоняет ли верификатор этот кортеж. Следовательно, с помощью оракула NP мы можем перечислить все ограничения на переменные x s и y tв полиномиальное время. Наконец, мы используем оракула NP еще раз, чтобы проверить, есть ли присваивание этим переменным, которое удовлетворяет всем ограничениям. Хотя этот алгоритм многократно использует оракула NP, все запросы, кроме последнего, могут выполняться параллельно, и поэтому он может быть преобразован в алгоритм P NP [log] . Случай более двух пруверов аналогичен.
Эта верхняя граница подразумевает, что, хотя каждая система MA может быть превращена в систему с совершенной полнотой, мы не можем надеяться на интерактивную систему доказательства с множеством доказательств с совершенной полнотой с O (log n ) -битной связью, если только MA⊆P NP [log] . Я не знаю, насколько маловероятно включение MA⊆P NP [log] , но я просто отмечаю, что зоология сложности утверждает, что существует оракул, относительно которого BPP⊈ P NP (и, следовательно, явно MA⊈P NP [log] ).
(В случае единственного средства проверки теорема 2 Голдрайха и Хостада [GH98] подразумевает, что IP с общей длиной сообщения O (log n ) битов равен BPP.)
Добавлен . Необходимая и достаточная характеристика заключается в следующем.
Чтобы объяснить эту характеристику, нам нужен вариант понятия сводимости по Карпу (сводимость за многократное время за полиномиальное время). Для два задач решения A и B , скажем , что является FP BPP -редуцируемо к B (я знаю, это ужасно имя) , когда существует детерминированное полиномиального время машина Тьюринга М с доступом к оракулу BPP отображающее Да - экземпляры к да-инстансам и нет-инстансам к нет-инстансам, где мы разрешаем «неумный» доступ к оракулу (это означает, что Mможет сделать запрос к оракулу BPP об экземпляре, который не удовлетворяет обещанию проблемы BPP, и в этом случае оракул произвольно возвращает да или нет). Тогда можно доказать, что следующие условия задачи A эквивалентны.
(i) A имеет интерактивную систему доказательства с множественными доказательствами с O (log n ) -битной связью и двусторонней ограниченной ошибкой.
(ii) A имеет интерактивную систему доказательства с одним доказательством в два раунда с O (log n ) -битной связью, экспоненциально малой ошибкой полноты и постоянной ошибкой достоверности.
(iii) A является FP BPP- сводимым к задаче в NP.
(Доказательство: импликация (ii) ⇒ (i) тривиальна. Импликация (i) ⇒ (iii) может быть получена аналогично приведенному выше доказательству в случае односторонней ошибки. Импликация (iii) ⇒ (ii) ) следует из теоремы PCP, поскольку класс задач, удовлетворяющих условию (ii), замкнут относительно FP- BPP- сводимости.)
Классический верификатор с запутанными пруверами (MIP *)
Далее рассмотрим случай с классическим верификатором и запутанными пруверами. В этом случае класс с ограниченной ошибкой снова содержит BPP∪NP.
Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner и Vidick [KKMTV11] показывают, что каждая проблема в NP имеет интерактивную систему проверки с одним доказательством с тремя доказательствами с идеальной полнотой и ошибкой 1-1 / poly, где общая длина сообщений составляет O ( log n ) биты, и устойчивость держится против запутанных пруверов. Следовательно, MIP * с общей длиной сообщения O (log n ) битов и ограниченной ошибкой содержит NP. Более поздний результат Ито, Кобаяси и Мацумото [IKM09] (бесстыдная заглушка) уменьшает количество пруверов с трех до двух. Случай с постоянным разумом открыт на вершине моих знаний.
Неизвестно, содержится ли MIP * с битами общей длины сообщения O (log n ) в классе R разрешимых проблем или нет, и этот вопрос эквивалентен тому, является ли MIP * ⊆R (еще одна открытая проблема) аргументом заполнения.
Ссылки
[GH98] Одед Голдрайх и Йохан Хостад. О сложности интерактивных доказательств с ограниченным общением. Письма для обработки информации , 67 (4): 205–214, август 1998 г. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] Цуёси Ито, Хиротада Кобаяши и Кейджи Мацумото. Оракуларизация и односторонние интерактивные доказательства с двумя доказательствами против нелокальных стратегий. Материалы: двадцать четвертая ежегодная конференция IEEE по вычислительной сложности (CCC 2009) , 217–228, июль 2009 г. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[KKMTV11] Джулия Кемпе, Хиротада Кобаяши, Кейджи Мацумото, Бен Тонер и Томас Видик. Запутанные игры трудно приблизить. SIAM Journal of Computing , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293
источник