Количество классов эквивалентности в обычных языках как функция размера DFA

Этот вопрос связан с недавним вопросом по Janoma .

Фон

В программировании ограничений, A регулярное глобальное ограничение $c$ над областью $D$ представляет собой пару $(s, M)$ с $s$ кортежем переменных (о масштабе) и $M$ ДКА над областью $D$ . Назначение $\theta$ для $s$ удовлетворяет $c$ если $M$ принимает строку $\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$ .

Ниже предположим, что область $D$ является фиксированной. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на множестве строк $T = D^{|s|}$такой, что $a \sim b$ если для каждого DFA $M$ либо $a, b \in L(M)$ либо $a, b \not\in L(M)$ . Интуитивно понятно, что две строки эквивалентны, если никакой DFA не может их различить. Если это правда, то они также удовлетворяют тем же регулярным ограничениям.

Если мы не будем ограничивать ДКА каким - либо образом, то множество классов эквивалентности $T/{\sim}$ только $T$ себя. Меня интересует количество классов эквивалентности по отношению к $\sim$ как функция количества состояний $n$ которые мы учитываем для DFA. Ясно, что если $n = |D|^{|s|}$(игнорировать константы) тогда $|T/{\sim}| = |T|$, (Конечно, $n$ здесь само будет функцией $|s|$ .)

Вопросы

1. Какой самый маленький $n$ для которого $|T/{\sim}| = |T|$?
2. Что происходит ниже этого? Особенно,
   • есть такое $n$ , что $|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$ ?
   • есть такое $n$ , что $|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$ ?

$|s|^{|D|}$

$k$$\geq k$

Ответ на вопрос 1,

Какой самый маленький п, для которого | T / ∼ | = | T | $n$$|T/{\sim}|=|T|$

$$n=\max_{|w|=|x|=s,\\ w\ne x}\mathrm{sep}(w,x)$$ $\mathrm{sep}(w,x)$$w$$x$$n$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

который был получен в

Робсон Дж. М. , Разделяющие струны с помощью небольших автоматов , инф. Процесс. Lett. 30, No. 4, 209-214 (1989). ZBL0666.68051 .