Переход от квантовых к классическим случайным блужданиям по прямой

Быстрая версия

Существуют ли модели декогеренции для квантового блуждания на линии, чтобы мы могли настроить блуждание так, чтобы оно распространялось как для любого ?1 / 2 ≤ K ≤ $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

мотивация

Классические случайные блуждания полезны при разработке алгоритмов, а квантовые случайные блуждания оказались полезными для создания ряда классных квантовых алгоритмов (иногда с доказуемым экспоненциальным ускорением ). Таким образом, важно понимать разницу между квантовыми и классическими случайными блужданиями. Иногда самый простой способ сделать это - рассмотреть игрушечные модели, такие как прогулки по прямой.

Есть и физическая мотивация: интересно узнать, как квантовая механика масштабируется до классической механики. Но это не очень относится к теории.

Моя личная мотивация полностью ортогональна: я пытаюсь сопоставить некоторые экспериментальные данные с моделью, которая плавно переходит от квантовой к классической и является относительно интуитивной.

Фон

При рассмотрении квантовых и классических блужданий на целочисленной линии ключевое отличие состоит в том, что стандартное отклонение (распределения положений) квантового блуждания выглядит как а классическое - как где - количество шагов для дискретной модели или время в непрерывной модели. Обратите внимание, что это не ограничивается линией, и для многих графиков вы увидите похожую квадратичную связь между квантовым и классическим временем смешивания, я рассматриваю ограниченный случай линии, поскольку думаю, что ее легче анализировать.Θ ( т 1 / 2 ) $\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

По мере того, как мы вводим декогеренцию в квантовом блуждании (посредством измерений или шума), блуждание начинает вести себя более классически. Фактически, для большинства измерений мы просто получаем классическое блуждание, которое распространяется как если смотреть с правильной шкалы времени. Для других форм декогеренции (таких как дефазировка монеты или введение дефектов в линию) обычно существует резкий порог, ниже которого блуждание ведет себя квантово (распространяется как ) и выше которого блуждание начинает быть классическим ( распространяться как ). На самом деле, это масштабирование даже было предложено в качестве определения квантового блуждания.Θ ( т ) Θ ( т 1 / 2$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

Длинная версия вопроса

Существуют ли модели декогеренции для случайного блуждания по линии, такие, что, изменяя степень декогеренции, мы можем достичь стандартного отклонения в положении, которое масштабируется как для любого ? В качестве альтернативы для других графиков с разрывом во времени смешивания или удара, существуют ли формы декогеренции, чтобы мы могли иметь смешивание / попадание / стандартное отклонение, которое идет как для любого и где - классическое смешение / удар / STD, а - чистый квант. Если это невозможно, то есть ли более глубокая причина, по которой мы видим такое поведение «один или другой»?1 / 2 ≤ K ≤ 1 е ( т ) е Е Е ( г ( т ) ) F ∈ O ( ч ( т ) ) г ( т ) ч ( т $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

Отличный вопрос На самом деле, тот же вопрос возник в чем-то, над чем я работал несколько месяцев назад ( arXiv: 1011.1217 ). Кажется, что любой естественный вид декогеренции приводит к поведению, которое выглядит изначально балистическим, но с течением времени становится диффузным, поэтому вы переходите между режимом режимом . Смотрите рисунок 2 в приведенном выше документе для примера этого. Это кажется естественным поведением, поскольку ваше состояние постепенно теряет согласованность.$t$$t^{\frac{1}{2}}$

Казалось бы, это предполагает, что дисперсия всегда масштабируется как или , и, следовательно, ход распространяется как или .$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Однако в квантовой метрологии происходит то же самое, когда вводится шум, но его можно преодолеть, чтобы получить промежуточное масштабирование (см., Например, JA Jones et al., Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , и т.д.). Одним из способов достижения этого является проведение промежуточных измерений.

Представьте , что вы замерить положение ходунков после каждого периода времени разрушающегося волновой, и обеспечить свободное развитие между ними. Теперь представьте, что мы хотим развить систему за общее время . Тогда отклонение в положении ходунка по истечении этого времени будет . В отсутствие другой декогеренции мы знаем, что ходок движется баллистически, и, следовательно, , и поэтому , Однако, поскольку , мы можем взять и . Таким образом,$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$ T ∝ t 1 - k Var ( x ( t ) ) = t 2 - $n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$, Таким образом, вы можете достичь любого промежуточного масштабирования, выбрав соответствующий интервал измерения.