Перманент матрицы и из определителей

Пусть будет матрица или с элементами . Может ли кто-нибудь предоставить мне матрицу чтобы ? Что такое наименьший явный B, который известен таким образом, что \ operatorname {per} (A) = \ det (B) ? Любые ссылки на это с явными примерами?$A$$3 \times 3$$4 \times 4$$a_{ij}$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$$B$$\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Некоторыми ограничениями могут быть следующие случаи:

Случай $(1)$ Только линейные функционалы допускаются в качестве записей $B$ .

Случай $(2)$ Нелинейные функционалы допускаются при условии, что каждый член имеет не более $O(log(n))$ степени (степень - сумма степеней переменных), где $n$ - размер вовлеченной матрицы. В нашем случае до степени $2$ .

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

1. Для согласованности я переключил обозначения с на .$c(n)$$dc(n)$
2. Vs в комментариях спросили, обобщает ли мой ответ более высокие измерения. Это делает и дает верхнюю границу по любому полю: См. Мой черновик об этом: верхняя граница для постоянной и детерминантной проблемы . $$dc(n)\le 2^n-1.$$

[/РЕДАКТИРОВАТЬ]

[Дополнительный комментарий: я думаю, что вы могли бы редактировать свой предыдущий вопрос вместо создания нового.]

У меня есть следующий ответ для вас:

Обратите внимание, что в поисках таких ссылок о явных примерах я не смог найти ни одного, и поэтому приведенный мною пример является примером, который я построил.

Этот вопрос, который вы задаете, обычно называют «Постоянная и детерминантная проблема». Предположим , что нам дана матрица , и мы хотим , наименьшую матрицу такой , что . Обозначим через размеры наименьшего такого . Вот исторические результаты:$(n\times n)$$A$$B$$\operatorname{per} A=\det B$$dc(n)$$B$

• [Сегё 1913]$dc(n)\ge n+1$
• [фон Гатен 1986]$dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
• [Cai 1990]$dc(n)\ge n\sqrt 2$
• [Mignon & Ressayre 2004] 2/2 в характеристике$dc(n)\ge n^2/2$$0$
• [Cai, Chen & Li 2008] в характеристике .$dc(n)\ge n^2/2$$\neq 2$

Это показывает, что (верхняя граница - матрица, приведенная выше).$5\le dc(3)\le 7$

Поскольку я ленивый, я просто даю вам одну ссылку, где вы можете найти другие. Это самая последняя статья, которую я цитировал, Цай, Чен и Ли: квадратичная нижняя оценка для постоянной и определяющей задачи над любой характеристикой$\neq 2$ .

Если вы читаете по-французски, вы также можете посмотреть мои слайды на эту тему: « Постоянный против детерминанта» .