Перманент матрицы и из определителей

9

Пусть будет матрица или с элементами . Может ли кто-нибудь предоставить мне матрицу чтобы ? Что такое наименьший явный B, который известен таким образом, что \ operatorname {per} (A) = \ det (B) ? Любые ссылки на это с явными примерами?A3×34×4aijBper(A)=det(B)Bper(A)=det(B)

Некоторыми ограничениями могут быть следующие случаи:

Случай (1) Только линейные функционалы допускаются в качестве записей B .

Случай (2) Нелинейные функционалы допускаются при условии, что каждый член имеет не более O(log(n)) степени (степень - сумма степеней переменных), где n - размер вовлеченной матрицы. В нашем случае до степени 2 .

против
источник
2
@vs Какие ограничения на ? Если их нет, то является матрицей с , но Я предполагаю, что это не то, что вы имели в виду. Как правило , один дает элементы матрицы , чтобы быть аффинные линейные функции переменных в . B
B=(per(A))
1×1det(B)=per(A)BA
Тайсон Уильямс

Ответы:

18

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

  1. Для согласованности я переключил обозначения с на .c(n)dc(n)
  2. Vs в комментариях спросили, обобщает ли мой ответ более высокие измерения. Это делает и дает верхнюю границу по любому полю: См. Мой черновик об этом: верхняя граница для постоянной и детерминантной проблемы .
    dc(n)2n1.

[/РЕДАКТИРОВАТЬ]

[Дополнительный комментарий: я думаю, что вы могли бы редактировать свой предыдущий вопрос вместо создания нового.]

У меня есть следующий ответ для вас:

в(aбсdеегчася)знак равнойе(0adг0000100яе000100ся0001с0ее000100час000010б000001)

Обратите внимание, что в поисках таких ссылок о явных примерах я не смог найти ни одного, и поэтому приведенный мною пример является примером, который я построил.

Этот вопрос, который вы задаете, обычно называют «Постоянная и детерминантная проблема». Предположим , что нам дана матрица , и мы хотим , наименьшую матрицу такой , что . Обозначим через размеры наименьшего такого . Вот исторические результаты:(N×N)AВвAзнак равнойеВdс(N)В

  • [Сегё 1913]dс(N)N+1
  • [фон Гатен 1986]dс(N)N2-6N
  • [Cai 1990]dс(N)N2
  • [Mignon & Ressayre 2004] 2/2 в характеристикеdс(N)N2/20
  • [Cai, Chen & Li 2008] в характеристике .dс(N)N2/22

Это показывает, что (верхняя граница - матрица, приведенная выше).5dс(3)7

Поскольку я ленивый, я просто даю вам одну ссылку, где вы можете найти другие. Это самая последняя статья, которую я цитировал, Цай, Чен и Ли: квадратичная нижняя оценка для постоянной и определяющей задачи над любой характеристикой2 .

Если вы читаете по-французски, вы также можете посмотреть мои слайды на эту тему: « Постоянный против детерминанта» .

Bruno
источник
Большое спасибо. Я забыл упомянуть, что я был знаком с линейными и квадратичными нижними оценками. Ваш пример ново для меня и , конечно , я буду смотреть на свои французские Слайдах :)
против
1
Чтобы преобразовать формулу в определитель, это (классический?) Результат, полученный Valiant в 1979 году. Мы объясняем этот результат в нашей статье в разделе 2.1 (см. [ Arxiv.org/abs/1007.3804] ).
Бруно
2
При обратите внимание, что в O (n2 ^ n) есть константа, поэтому значение 24 не является правильным. Тем не менее, я думаю, что мой пример лучше, чем просто применение формулы Райзера + построение Валианта. Это вполне нормально, поскольку можно представить, что переход от перманента к формуле, а затем обратно к определителю - не лучший способ. Я бы не сказал, что мой пример "лучше, чем у Райзера", поскольку цели не совпадают. Отметим также, что формулы Глиннсора или Райзера не так хороши, как тривиальные формулы для , они бьют ее только асимптотически. Nзнак равно3Nзнак равно3
Бруно
2
У меня был новый взгляд на газету JY Cai. Теорема 3 дает лучшую оценку: . с(N)О(2N)
Бруно
2
@ Бруно: отличный ответ!
Дай Ле