Прогресс в обобщенной проблеме звездной высоты?

(Обобщенная) высота звезды в языке - это минимальная вложенность звезд Клини, необходимая для представления языка расширенным регулярным выражением. Напомним, что расширенное регулярное выражение над конечным алфавитом удовлетворяет следующему:$A$

(1) и - расширенные регулярные выражения для всех$\emptyset, 1$$a$$a\in A$

(2) Для всех расширенных регулярных выражений ; , , и - расширенные регулярные выражения$E,F$
$E\cup F$$EF$$E^*$$E^c$

Одна из формулировок обобщенной проблемы высоты звезды состоит в том, существует ли алгоритм для вычисления минимальной обобщенной высоты звезды. Что касается этой проблемы, у меня есть несколько вопросов.

1. Был ли какой-либо недавний прогресс (или исследовательский интерес) в отношении этой проблемы? Я знаю несколько лет назад, что Пин Штраубинг и Териен опубликовали несколько статей в этой области.

2. Проблема ограниченной высоты звезды была решена в 1988 году Хашигучи, но обобщенная версия (насколько я знаю) все еще остается открытой. У кого-нибудь есть интуиция относительно того, почему это может иметь место?

Ссылка, которая может быть полезна, следующая: starheight

$k$$k\ge 0$

Напротив, после пятидесяти лет мы не знаем, существует ли какой-нибудь постоянный язык высоты звезды, по крайней мере, два. Таким образом, мы даже не знаем, есть ли необходимость в процедуре принятия решения в конце концов. Это «полное отсутствие примеров» указывает на то, что чрезвычайно трудно разобраться в этой проблеме.

Этот ответ посвящен памяти Януша (Джона) Антони Бжозовского, который скончался 24 октября 2019 года.

Джон, безусловно, человек, который сделал проблемы звездной высоты настолько известными. Действительно, на конференции в Санта-Барбаре в декабре 1979 года он представил подборку из шести открытых проблем, касающихся обычных языков, и упомянул две другие темы в заключении своей статьи [1]. Этими шестью открытыми проблемами были: по порядку: высота звезды, ограниченная высота звезды, сложность группы, удаление звезды, регулярность неисчисляемых классов и оптимальность префиксных кодов. Двумя другими темами были проблема ограниченности и иерархия глубины точек.

В июне 2015 года во время однодневной конференции, посвященной его 80-летию , я представил две обзорные статьи, в которых кратко описывается состояние дел по этим вопросам [2, 3]. В частности, вы найдете в [2] подробную информацию о проблемах высоты звезды.

[1] Я. А. Бжозовский, Открытые задачи о регулярных языках , в теории формальных языков. Перспективы и нерешенные проблемы, Материалы симпозиума, состоявшегося в Санта-Барбаре, Калифорния, 10-14 декабря 1979 г. [, RV Book (ed.), С. 23–47, Нью-Йорк и т. Д .: Academic Press, дочерняя компания Harcourt Brace Йованович, Издательство. XIII, 454 с., 1980.

[2] Ж.-Э. Пин, Открытые проблемы о регулярных языках, 35 лет спустя , Ставрос Константинидис; Нельма Морейра; Рожерио Рейс; Джеффри Шаллит. Роль теории в компьютерных науках - очерки, посвященные Янушу Бжозовскому, World Scientific, 2017,

[3] Ж.-Э. Пин, Иерархия глубины точек, 45 лет спустя . Ставрос Константинидис; Нельма Морейра; Рожерио Рейс; Джеффри Шаллит. Роль теории в информатике - очерки, посвященные Янушу Бжозовскому, World Scientific, 2017.

Решение ограниченной проблемы высоты звезды вдохновило богатую теорию функций регулярной стоимости (Колкомбета), которая, в свою очередь, помогла решить другие проблемы разрешимости и предлагает новые инструменты для решения открытых проблем. Эта теория все еще развивается и была распространена на бесконечные слова, конечные деревья, бесконечные деревья, со своим собственным набором глубоких результатов и открытых проблем. Вот оригинальный документ теории и библиография , с сайта Colcombet.

Таким образом, хотя это не является непосредственным применением обобщенной высоты звезды, это показывает, что прогрессирование на кажущиеся бесполезными проблемы, такие как высота звезды, вероятно, будет означать лучшее понимание обычных языков и даст новые результаты по различным проблемам.

Ссылка: Томас Колкомбет. «Теория моноидов стабилизации и регулярных функций стоимости». В: ICALP 2009