Связь между фиксированным параметром и алгоритмом аппроксимации

13

Фиксированный параметр и аппроксимация - это совершенно разные подходы для решения сложных задач. У них разная мотивация. Приближение ищет более быстрый результат с приближенным решением. Фиксированный параметр ищет точное решение с временной сложностью в терминах экспоненциальной или некоторой функции k и полиномиальной функции n, где n - размер ввода, а k - параметр. Пример .2kn3

Теперь мой вопрос, есть ли какой-либо результат верхней или нижней границы, основанный на связи между подходами с фиксированным параметром и приближением, или они полностью не имеют никакой связи. Например, для задачи говорят, что W [ i ] трудно для некоторых i > 0 не имеет ничего общего с алгоритмом c-приближения или PTAS. пожалуйста, предоставьте некоторые ссылкиPW[i]i>0

Prabu
источник
1
Связанные, возможно, дубликаты?: Cstheory.stackexchange.com/questions/4906/…
Суреш Венкат
1
@suresh venkat Этот вопрос касается разницы в понимании NP-полного и фиксированного параметра. когда мы говорим только с точки зрения NP-твердости, то независимый набор и покрытие вершин буквально одинаковы, но когда мы говорим с точки зрения фиксированного параметра, они имеют огромную разницу. покрытие вершины имеет хороший fpt, ​​тогда как независимый набор - это W [1] hard
Prabu
но здесь я ищу связь между приближением и фиксированным параметром.
Прабу
Я думаю, что между ними нет реальной связи, но, используя фиксированный параметр, мы можем получить хорошее приближение, например, в упаковке бина (планирование выполнения), вы можете увидеть это соотношение, или, например, в ограниченных графиках Treewidth у нас есть приближения по некоторым задачам. ,
Саид

Ответы:

16

Существует несколько связей между параметризованной сложностью и алгоритмами аппроксимации.

Сначала рассмотрим так называемую стандартную параметризацию задачи. Здесь параметр - это то, что вы оптимизируете в оптимизационной версии задачи (размер покрытия вершин для задачи покрытия вершин, ширина декомпозиции дерева для задачи Treewidth и т. Д.). Давайте конкретно посмотрим на Vertex Cover. Любое ядро ​​с линейным числом вершин для покрытия вершин подразумевает алгоритм приближения с постоянным множителем за полиномиальное время: в приближенное решение помещают все вершины, которые были принудительно введены в решение алгоритмом ядра, и все вершины экземпляра с ядром. , С другой стороны, нижние оценки для коэффициента аппроксимации подразумевают более низкие оценки для размера ядра. Например, в предположении об уникальных играх, Хот и Регев (JCSS 2008)исключить алгоритмы аппроксимации для покрытия вершин с отношением любого , что исключает ядро ​​для покрытия вершин с максимум c k вершинами, c < 2 также.c<2ckc<2

РЕДАКТИРОВАТЬ: Аргументация для нижней границы ядра в предыдущем параграфе является очень неформальной, и, насколько мне известно, открыто, могут ли быть доказаны такие нижние границы для размера ядра, даже для Vertex Cover. Как указывает @Falk в комментариях, аргумент верен для большинства (всех?) Известных ядер. Тем не менее, я не вижу, как можно исключить существование алгоритмов ядра, где допустимое решение ядра с экземпляром имеет коэффициент аппроксимации, отличный от соответствующего решения в исходном случае.

Затем возникает проблема PTAS против FPTAS. Если мы хотим найти решение в пределах от оптимального, мы можем параметризовать как 1 / ϵ . Затем PTAS соответствует алгоритму XP в параметризованной настройке, тогда как FPTAS соответствует алгоритму FPT. Для приблизительной нижней границы мы не можем ожидать EPTAS для любой задачи, стандартная параметризация которой W [1] -hard: запуск EPTAS с ϵ = 1 / ( k + 1 ) решит проблему точно во время FPT.(1+ϵ)1/ϵϵ=1/(k+1)

Наконец, алгоритм аппроксимации FPT - это алгоритм с временем выполнения FPT и коэффициентом аппроксимации, который может зависеть от параметра. Например, стандартная параметризация задачи Cliquewidth имеет алгоритм аппроксимации FPT с отношением аппроксимации (Oum, WG 2005) , тогда как стандартная параметризация Независимого доминирующего множества не имеет алгоритма аппроксимации FPT с коэффициент производительности g ( k ) для любой вычислимой функции g , если только FPT = W [2] (Downey et al., IWPEC 2006) . См. (Маркс, The Computer Journal 2008)(23k+21)/k g(k)g для обследования по приближению FPT.

Серж Гасперс
источник
@Gasper Можете ли вы увидеть вопрос "Поиск максимального ациклического суб-турнира с учетом двух ациклических суб-турниров". У меня все еще есть сомнения с моим ответом. Поскольку вы работали со связанной проблемой, вы можете мне помочь
Прабу
Первый абзац ответа Сергея правильный? Приводит ли нижняя граница аппроксимируемости к нижней границе размера ядра? Подобное утверждение есть в книге Нидермейера, но верно ли это утверждение?
XXYYXX
1
@XXYYXX: В ответе Сержа он написал «Любое ядро ​​с линейным числом вершин для покрытия вершин подразумевает алгоритм приближения с постоянным множителем за полиномиальное время» с коротким доказательством. Точнее, его аргумент показывает, что если существует ядро ​​с вершинами ck для некоторой константы c, то существует алгоритм приближения фактор-c. Противоположным является то, что: если не существует алгоритма аппроксимации фактора c, то ядра с ck вершинами не существует.
Ёсио Окамото
@Prabu: я прокомментировал ваш ответ на другой вопрос. @Yoshio: Спасибо, что ответили на вопрос @ XXYYXX.
Серж Гасперс
1
Фактически для всех известных зародышеобразований этот аргумент верен. Тем не менее, я не вижу причин, почему не должно быть такого, который, например, сначала сводится к другой проблеме, ядрируется там, а затем возвращается к покрытию вершин, так что результирующий экземпляр не имеет соответствия вершин с исходным. Поэтому мне кажется, что единственное, что мы можем действительно показать, - это то, что ядра, которые являются подграфами, вероятно, будут не меньше 2k.
Фальк Хюффнер,
7

FPTASPFPT

Q=(IQ,SQ,fQ,optQ)NPQFPTASQPFPT

PFPT

NPQPFPTO(|x|O(1)kO(1))|x|x

Другие характеристики для двух приближенных классов предложены в [2, теорема 6.5].

Проблема в

  • PTASptasXPw

  • FPTASfptasPFPTw

(f)ptas(XP)PFPTw1ϵ and bounding from below an optimum value.

  1. Polynomial time approximation schemes and parameterized complexity. J. Chen et al. / Discrete Applied Mathematics 155 (2007) 180 – 193.
  2. Structure of Polynomial-Time Approximation. E. J. van Leeuwen et al. Technical Report UU-CS-2009-034, December 2009.
Oleksandr Bondarenko
источник