Характеристика сложности цепей для DLogTime и NLogTime

и N L o g T i m e - два самых маленьких класса сложности, которые мы имеем. (Обратите внимание, что логарифмическая иерархия времени L H равна A C 0, и это первые два уровня L H ).$\mathsf{DLogTime}$$\mathsf{NLogTime}$$\mathsf{LH}$$\mathsf{AC}^0$$\mathsf{LH}$

После прочтения этого вопроса , я стану интересно посмотреть , если разделение между этими двумя классами , как известно, и на самом деле это легко отделить их , так как (спасибо Робину Котари. См. также известный$OR(x_1,...,x_n) \in \mathsf{NLogTime}-\mathsf{DLogTime}$). Теперь мне интересно узнать их соответствующую характеристику сложности схемы. Я искал немного и спросил несколько человек, но не смог найти ответ.

Есть ли у нас хорошие характеристики сложности схем для классов сложности и N L o g T i m e ?$\mathsf{DLogTime}$$\mathsf{NLogTime}$

Примечание: показывает вверх много в определении однородности для небольших классов сложности. Обратите внимание, что небольшая временная граница не позволяет этим машинам читать весь ввод, они могут считывать только lg n битов с входа, а классы определяются с использованием машин, которые могут записать адрес бита, а затем непосредственно прочитать этот бит ( т.е. не нужно проходить все предыдущие биты, чтобы добраться туда).$\mathsf{DLogTime}$$\lg n$

Я думаю, что гораздо интереснее, что классы сложности схем, используемые теорией сложности CS, делают разные предсказания и используют другие метрики, чем в сообществе VLSI. Из СБИС-сложности булевых функций :

Хорошо известно, что все булевы функции от переменных могут быть вычислены с помощью логической схемы с O ( 2 n / n ) вентилями (теорема Лупанова) и что существуют булевы функции от n переменных, которые требуют логических схем такого размера (Шеннона теорема). Мы представляем соответствующие результаты для булевых функций, вычисленных схемами VLSI, используя модель чипсета VLSI Томпсона. Мы доказываем, что все булевы функции n переменных могут быть вычислены схемой СБИС области O ( 2 n ) и периода 1, и мы доказываем, что существуют булевы функции$n$$O(2^n/n)$$n$$O(2^n)$$n$Переменные , для которых каждый (выпуклые) СБИС чип должен иметь область.$\Omega(2^n)$

Интересно, что сложность схемы СБИС имеет тенденцию рассматривать глубину как «не относящуюся к делу», поскольку имеет значение только одна «глубина»: критический путь. Для большинства практических целей произвольно сложную схему можно рассматривать как с задержкой $O(1)$$n$ .

На самом деле, я даже не уверен , что понятие / Н л о г т я м е непосредственно переводится в сложности схемы СБИС. Даже результат Шеннона 2 n / n не может быть легко переведен: результаты Шеннона действительны только для логического базиса, состоящего из арности ≤ 2 {AND, OR, NOT}. Это не единственная основа, и количество необходимых «ворот» резко падает, поскольку вы допускаете все больше и больше типов ворот. Ниже приведены т $DLogTime$$NLogTime$$2^n/n$$\le2$$area^2$ из коммерческой библиотеки ячеек стандарта VLSI, нормированной на размер 2 входного NAND-шлюза:

        2 3 4 <- Arity
и 1,14 1,28 1,41
nand 1.00 1.14 1.28
или 1,14 1,41 1,41
ни 1,00 1,14 1,41
xor 1,62 2,44
xnor 1,62 2,44

buf 1.14
инв 0.80

Aoi22 1,28
Aoi222 1,62
АОИ33 1,62
oai22 1,41
oai222 1,72
oai33 1.62

addf 2.64

В частности, обратите внимание на aoi/ oaigates, которые And Or Invert/ Or And Invertсостоят из первой функции размера арности, питающей вторую функцию, где число первых гейтовых функций равно числу появлений арности . Например, представляет «Два 2 входных И вентиля, питающих вентиль NOR».aoi22

Я хочу сказать: отдельно взятая oai222функция может быть построена с использованием трех 2 входных ИЛИ вентилей и 3 входных вентилей NAND, общей площадью ~ 4,56, не считая области, используемой для межсоединения. Тем не менее, этот примитив может быть реализован в области всего 1,72, что означает, что дискретное проявление той же самой логической функции потребляет в 2,65 раза больше площади.

Также обратите внимание, что область для входных {AND, NAND, OR, NOR, XOR, XNOR} вентилей, где n ≥ 2 , намного меньше, чем область, которая потребуется для построения той же функции с использованием дискретных 2 входных вентилей. Также обратите внимание, что хотя область, указанная для {XOR, XNOR} для этого процесса, является «большой» по сравнению с другими воротами, существуют другие способы построить те же n входных вентилей, используя меньшую площадь.$n$$n\ge2$$n$

Свойства распространения для более сложных примитивов также значительно лучше, чем то, что было бы достигнуто с использованием дискретных вентилей.

$\mathcal{P}$$\mathcal{NP}$

$\mathcal{P} \ne \mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$2^n/n$$\mathcal{NP}$,

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\mathcal{NP}$$\{0,1\}^n$$2^n/n$$n$$n$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$2^n/n$

О сложности реализаций СБИС и графических представлениях булевых функций с применением умножения на целочисленные значения показано, что прогнозирование сложности схемы с использованием модели OBDD переоценивает фактическую сложность схемы:

$AT^2 = \Omega (n^2)$$\Omega(c^n)$$c<1$$AT^2 = O(n^{1+c})$

$n$$2n-1$$i-1$$2n-i-1$$1\le i\le n$$AT^2 = \Omega(i^2)$$\Omega(1.09^i)$