В Википедии приводятся примеры проблем, где версия для подсчета трудна, а версия для принятия решения проста. Некоторые из них подсчитывают идеальные соответствия, подсчитывают количество решений для SAT и количество топологических сортировок.
Существуют ли другие важные классы (например, примеры в решетках, деревьях, теории чисел и т. Д.)? Есть ли сборник таких проблем?
Есть много типов проблем в , которые имеют -Жесткие версии подсчета.# P
Существует ли версия естественной проблемы в которая более понятна или проще, чем обычное двустороннее идеальное сопоставление (пожалуйста, включите подробности о том, почему проще, например, доказуемо быть в младших классах иерархии и т. Д.) В какой-то другой области (например, теория чисел, решетки) или, по крайней мере, для отдельных простых двудольных графов, чья версия счета P -hard?N C # P
Будут оценены примеры из решеток, многогранников, подсчета точек, теории чисел .
Ответы:
Вот действительно отличный пример (я могу быть предвзятым).
Для частично упорядоченного множества:
а) имеет ли оно линейное расширение (т. Е. Полный порядок, совместимый с частичным порядком)? Тривиально: все посеты имеют хотя бы одно линейное расширение.
Б) Сколько у него? # P-complete для определения этого (Brightwell and Winkler, Counting Linear Extensions , Order, 1991)
c) Можем ли мы сгенерировать их все быстро? Да, в постоянном амортизированном времени (Pruesse и Ruskey, Быстрое создание линейных расширений , SIAM J Comp 1994)
источник
Один интересный пример из теории чисел выражает положительное целое число в виде суммы четырех квадратов. Это можно сделать относительно легко за случайное полиномиальное время (см. Мою статью 1986 года с Рабином на https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 ), и, если я правильно помню, теперь есть даже детерминированный полиномиальное время решение. Но подсчет количества таких представлений позволит вам вычислить функцию суммы делителей , которая является случайным полиномиальным временем, эквивалентным факторингу n . Так что проблема с подсчетом, вероятно, сложная.σ(n) n
источник
Очень хороший и простой пример из теории графов - подсчет числа элерических цепей в неориентированном графе.
Вариант решения прост (... и проблема Семи Мостов Кенигсберга не имеет решения :-)
Версия для подсчета # P-hard: Грэм Р. Брайтвелл, Питер Винклер: Подсчет Eulerian Circuits - # P-Complete . ALENEX / ANALCO 2005: 259-262
источник
Что касается вашего второго вопроса, такие проблемы, как Monotone-2-SAT (определение выполнимости формулы CNF, имеющей не более 2 положительных литералов по выражению), совершенно тривиальны (вам просто нужно проверить, пуста или нет ваша формула), но проблема подсчета # P-hard. Даже приблизительное количество удовлетворительных заданий по такой формуле сложно (см. «О сложности приближенных рассуждений», Дэн Рот, Искусственный интеллект, 1996).
источник
Из [Kayal, CCC 2009] : Явное вычисление аннулирующих полиномов в некоторой точке
Из аннотации: `` Это единственная естественная вычислительная проблема, в которой определение существования объекта (в нашем случае аннулирующего полинома) может быть выполнено эффективно, но фактическое вычисление объекта доказуемо сложно. ''
Пусть поле и → F = ( F 1 , . . . , Е к ) ∈ F [ х 1 , . , , , Х п ] быть набор к -many градусов- й п -мерное многочленов над F . → F -annihilating полином является любой (нетривиальным) й ( е 1 , . .F f⃗ =(f1,...,fk)∈F[x1,...,xn] k d n F. f⃗ A A(f1,...,fk)=0.
Решение легко: над любым полем, и для любых многочленов ( F 1 , . . . , Е к ) - если к ≥ п + 1 , существует такое аннуляторное для ( F 1 , . . . , Е к ) , ((Посредством аргумента подсчета размеров.))k (f1,...,fk) k≥n+1, A (f1,...,fk)
Подсчет трудно: Определить аннулирующий-EVAL в качестве функциональной задачи оценки уничтожающего полинома на каком - то момент : Учитывая простой и множество ( е 1 , . . . , Е к ) ∈ Z [ х 1 , . , , , Х п ] , которые имеют минимальный унитарный уничтожающий А ( т 1 , . . . , Т к ) ∈ Zp, (f1,...,fk)∈Z[x1,...,xn] выход целое число ( 0 , . . . , 0 ) по модулю р .A(t1,...,tk)∈Z[t1,...,tk], A(0,...,0)modp.
ANNIHILATING-EVAL это -hard. Кроме того, аннулирующий многочлен ( т 1 , . . . , Т к ) не имеет небольшое представление схемы , если Р Н не разрушается.#P A(t1,...,tk) PH
источник