Когда BPP с предвзятой монетой соответствует стандартному BPP?

10

Пусть вероятностная машина Тьюринга имеет доступ к недобросовестной монете, которая выпадает в голову с вероятностью (броски независимы). Определите как класс языков, распознаваемых такой машиной за полиномиальное время. Это стандартное упражнение, чтобы доказать, что:pBPPp

A) Если рационально или даже вычислимо, то . (Под вычислимым я имею в виду: существует рандомизированный полиномиальный алгоритм, который подает в унарных возвращаемых значениях, когда двоичное рациональное число со знаменателем лежит в пределах от .)B P P B P P p = B P PpBPPBPPp=BPPп 2 п 2 - п - 1 рBPPn2n2n1p

B) Для некоторого невычислимого класс содержит неразрешимый язык и, следовательно, больше, чем . Такие значения образуют плотное множество в .B P P p B B P P p ( 0 , 1 )pBPPpBPPp(0,1)

Мой вопрос заключается в следующем: что происходит между ними? Есть ли критерий для ? В частности:BPPp=BPP

1) Существуют ли невычислимые в вероятности такие, что ? (Они могут быть вычислимы в некоторых высших классах).р Б Р Р р = B P PBPPpBPPp=BPP

2) шире, чем для всех невычислимых ? (Рассматриваемые параметры - это те, чье двоичное расширение содержит очень длинные последовательности нулей и / или единиц. В этом случае вычисление битов методом случайной выборки может занять очень много времени, даже не вычисляемое, и проблема не может быть масштабирована до полиномиального времени. Иногда трудность может быть преодолена с помощью другой базы расширения, но некоторые могут обмануть все базы). Б Р Р р рBPPpBPPpp

Даниил Мусатов
источник
Что именно вы подразумеваете под p, будучи (не) вычислимым?
Даниелло
Я добавил определение вычислимого. Для вычислимых вообще можно просто отбросить слова «рандомизированный полином» или просто сказать, что двоичное разложение вычислимо. (С ограниченными ресурсами это не одно и то же.)BPP
Даниил Мусатов
Я думаю, что для каждого невычислимого потому что с учетом смещенной монеты можно вычислить -й бит путем выборки. Предположим, что мы можем вычислить -й бит за время , тогда язык, содержащий для всех такой что '-й бит равен находится в , но ясно, что это неисчислимо. p p p n p n f ( n ) 1 x x f - 1 ( x ) p 1 B P P pBPPpBPPppnpnf(n)1xxf1(x)p1BPPp
Даниелло
Это определенно верно для подавляющего большинства невычислимых . Но есть предостережение: если содержит очень длинные последовательности нулей и единиц, то для определения -го бита может потребоваться очень длинная выборка . Эта выборка может быть настолько длинной, что будет невычислимой (как функция Busy Beavers). Я также сомневаюсь, что это может быть точно вычислено из самой выборки. И кажется, что без вычисления невозможно распознать упомянутый язык. p n f ( n ) f ( n )ppnf(n)f(n)
Даниил Мусатов

Ответы:

1

1) Да, но только из-за вашего определения. Возьмите унарный язык (да, я знаю, что это может быть пустым, в этом случае просто возьмите что-то даже больше, чем ), что очень мало в том смысле, что если не является башня , т. е. в форме . Определите . Это не является вычислимым, но может быть аппроксимировано в до достаточно малой аддитивной ошибки, которая позволяет моделировать машину .LEXPBPPEXPnLn2s222p=nL1/nБ Р Р р Р В Р Р рpBPPpPBPPp

Если бы вы определили вычислимость так, что вы хотите приблизить до аддитивной ошибки (вместо ) за полиномиальное время, все было бы иначе.р 1 / п 1 / 2 нBPPp1/n1/2n

Обновить. Ответ ниже для случая, когда допускаемая нами аддитивная ошибка равна вместо .2n2n1

2) Да, потому что здесь вы можете забыть о полиномиальном ограничении на классы и, выбрав раз, вы можете получить бит в .2nnpBPPp

domotorp
источник
2) Я думаю, что центральная предельная теорема предполагает, что для получения точности нужно выбирать , а не раз . Но главная проблема в том, что иногда нам нужна гораздо большая точность. Скажем, если то нужно выборок, чтобы вычислить хотя бы первую цифру. И количество необходимых выборок может быть произвольно, даже неисчислимо, большим. Суть немного прояснена в редактировании. 22n2n2n|p12|<ϵ1ϵ2
Даниил Мусатов
@Daniil: Как я уже прокомментировал вопрос, вы не просили вычисление цифр в вашем определении вычислимого. Итак, если равно, скажем, , то нужно угадать для первой цифры после запятой в соответствии с вашим определением. р 0.01111111111 1BPPp0.011111111111
domotorp
Мы сейчас говорим о неисчислимом , не так ли? Если я вас правильно понимаю, вы предлагаете не вычислять путем выборки цифр , а вместо этого вычислять, равна ли -тая цифра двоичной рациональной аппроксимации единице. Но здесь мы сталкиваемся с тем же Задача: чтобы вычислить первую цифру, нам нужно различить 0,010000000001 и 0,001111111110. p i 2 - i - 1 pppi2i1p
Даниил Мусатов
@Daniil: ОК, мой плохой, я думал, что вы хотели двоичный рациональный, чье расстояние не более от . Я обновил свой ответ соответственно. Довольны ли вы моим решением 1)? р2np
domotorp