Рассматриваемые здесь преобразователи - это те, которые Википедия называет преобразователями конечного состояния . Поведение преобразователя , то есть вычисляемого им отношения, записывается как [ T ] : слово y является выходом для x тогда и только тогда, когда x [ T ] y .
Вопрос: разрешима ли следующая проблема:
Дано: преобразователь и регулярный язык L. Решить: верно ли, что ∀ x ∈ L , ∀ y слово, x [ T ] y означает, что | у | ≤ | х | ?
Я ищу нетривиальный анализ / разрешимые случаи, сведение к известным проблемам и / или связанным ссылкам. (прямо сейчас даже не уверен, что это вообще разрешимо ...?)
Мотивация: эта проблема была вдохновлена анализом / исследованием автоматизированной теоремы, доказывающей теоретико-числовые проблемы в целом, и широко изученной , в частности , гипотезой Коллатца .
Ответы:
Другой участник удалил свой ответ, возможно, чтобы я мог расширить свой комментарий выше, так что вот оно.
Пусть возможно недетерминированный преобразователь, а L регулярный язык. Измените T на преобразователь T ′, который проверяет, что его вход находится в L (например, путем изменения набора состояний в декартово произведение наборов состояний T и L и изменения функции перехода так, чтобы часть L состояний правильно обновляется, сохраняя при этом поведение T. )T L T T′ L T L L T
Ветвь из представляет собой последовательность ρ 1 C 1 ρ 2T′ такоечто р 1 р 2 ⋯ р п + 1 является принятие простой путь в Т ' , и каждый из С я это сильно связная компонента T ′, состояния которой включают в себя назначение ρ i (и начало ρ iρ1C1ρ2C2⋯ρnCnρn+1 ρ1ρ2⋯ρn+1 T′ Ci T′ ρi ). Ветвьручная,если:ρi+1
Длина входного пути больше или равна его выходной длины;ρ1ρ2⋯ρn+1
Для любого , любого простого цикла в C i входная длина цикла больше или равна его выходной длине.i Ci
Факт: Для любого x , y , x [ T ′ ] y подразумевается | у | ≤ | х | ] если все ветви ручные.[ x,y x[T′]y |y|≤|x| ]
Доказательство довольно немедленное. Последнее свойство разрешимо (поскольку число ветвей ограничено, а количество простых циклов тоже), это показывает, что проблема вопроса разрешима.
источник