Точная формула для количества остовных деревьев прямоугольника

10

Этот блог рассказывает о создании "извилистых маленьких лабиринтов" с помощью компьютера, перечисляя их. Перечисление может быть выполнено с использованием алгоритма Уилсона для получения UST , но я не помню формулы для того, сколько их там.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

В принципе теорема о матричном дереве утверждает, что число остовных деревьев графа равно определителю матрицы Лапласа графа. Пусть - граф, - матрица смежности, - матрица степеней, тогда с собственными значениями , тогда:G=(E,V)ADΔзнак равноD-Aλ

К(г)знак равно1NΠКзнак равно1N-1λК

В случае м×N прямоугольника и A и собственные значения должны принимать особенно простую форму, которую я не могу найти.

Какова точная формула (и асимптотика) для числа связующих деревьев прямоугольника м×N ?

введите описание изображения здесь

Вот прекрасный пример алгоритма Уилсона в действии.

Джон Мангуаль
источник
2
Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей Точные формулы не так просто вывести.
Питер Шор
@PeterShor OEIS цитирует: Жермен Креверас, Complexite и схемы Euleriens dans les sommes tenorielles de graphes , J. Combin. Теория, B 24 (1978), 202-212. Он такой же объект, как и мы, верно?
Джон Мангал
м×N

Ответы:

9

Согласно https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf не существует известной формулы в закрытой форме.

Nм

ехр(ZsQмN)
ZsQзнак равно4πΣязнак равно0(-1)я(2я+1)21,16624
мN
Дэвид Эппштейн
источник
Здесь приведены точные асимптотические формулы для числа остовных деревьев в прямоугольнике (и более общие последовательности подграфов, описываемых прямолинейными многоугольниками): arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (в частности, следствие 2 и предложение 13 )
Лоренцо Найт
Опять же, это в хранилище математической физики. Строго ли они доказывают асимптотические формулы или используют физические рассуждения анзаца?
Дэвид Эппштейн
Он был опубликован в Acta Math 185 (2000) №. 2, 239-286.
Лоренцо Найт
0

Собственные значения графа m-by-n можно использовать для получения выражения для числа совершенных совпадений в таких графах. Смотрите статью в Википедии о домино .

Тайсон Уильямс
источник
Это интересно, но можете ли вы уточнить, как это решает вопрос? Есть ли какое-либо отображение между идеальными совпадениями и связующими деревьями в данном конкретном случае?
Саид