Известна ли сложность этой проблемы покрытия?

9

Позволять гзнак равно(В,Е)быть графом Набор вершинИксВназывается критическим, еслиИкс и нет вершины в ВИкс смежна ровно с одной вершиной в Икс, Проблема состоит в том, чтобы найти множество вершинSВ минимального размера, такого что SИкс для каждого критического набора Икс,

Эта проблема имеет следующую распространяющуюся по слухам интерпретацию: Vertex я распространяет слух своему соседу J если и только если все остальные соседи яуже проинформированы. Тогда возникает вопрос, сколько вершин мне нужно сообщить на начальном этапе, чтобы в конце все были проинформированы.

Томас Калиновский
источник
Это имеет довольно простое решение, поэтому, возможно, проблема имеет больше условий, чем указано; игнорируя особый случайИксзнак равноВ и если г связан, каждая вершина v со степенью >1 имеет критический набор В{v} связан с ним, поэтому в нем могут быть только соседи исключительно вершин deg 1 S, Если такая вершина существует, тог является звездным графом и его центр (как синглтон) является единственным минимальным S, Еслигне подключен, то посмотрите на каждый подключенный компонент.
Джо Бебель
1
Для звезды К1,N с N2 листья, каждый набор из двух листьев имеет решающее значение, и поэтому оптимальное решение состоит в том, чтобы взять N-1листья.
Томас Калиновский
О, я вижу свою ошибочную интерпретацию
Джо Бебель
Очень интересный вопрос, один небольшой спор: вы, вероятно, хотите, чтобы ваши критические наборы были непустыми (в противном случае нет S).
Клаус Дрегер
1
@JoeBebel: проблема решения "Есть ли набор решений S размером не более К? »в NP. Вы можете проверить, есть ли набор Sявляется решением по следующему алгоритму. Пока есть вершинаvS который имеет именно на соседа вес снаружи S, Добавить вес в S, ЕслиS в конечном итоге содержит все вершины, тогда ваш начальный набор был решением, в противном случае вы застряли, и дополнение к окончательному набору является критическим, поэтому начальный набор Sне было решением.
Томас Калиновский

Ответы:

5

Проблема известна как проблема распространения . Азами доказал в своей докторской диссертации, что взвешенная версия является NP-полной, даже когда график плоский, а веса узлов находятся в{0,1}, Сложность для невзвешенной версии кажется открытой проблемой.

Томас Калиновский
источник